UA MATH563 概率論的數學基礎 中心極限定理20 弱收斂的性質

性質一：兩種定義的等價性

隨機變量依分布收斂

定義一：
假設$\{X_n\}$是一列隨機變量，稱它依分布收斂到$X$，如果$X_n$的cdf弱收斂到$X$的cdf，記為$X_n{\to }_{d}X$

定義二：
假設$\{X_n\}$是一列隨機變量，稱它依分布收斂到$X$，如果對任意有界連續函數$g$，$E[g(X_n)]\to E[g(X)]$

Skorohod定理
如果$F_n?F$，則存在以$F_n$為cdf的$Y_n$與以$F$為cdf的$Y$，使得$Y_n{\to }_{a.s.}Y$。

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證明定義一與定義二的等價性

$1?2$: 如果$X_n{\to }_{d}X$，則$X_n$的累積分布函數$F_n$弱收斂到$X$的累積分布函數$F$，根據Skorohod定理，存在$Y_n{=}_d{X}_n,Y{=}_{d}X$，使得$Y_n{\to }_{a.s.}Y$。根據有界收斂定理，
$$Eg(X_n)=Eg(Y_n)\to Eg(Y)=Eg(X)$$

$2?1$: 累積分布函數可以用期望表示，
$$F_n(x)=P(X_n\le x)=E[1_{(?\infty ,x]}(X_n)]$$

引入函數$g_{x,?}\ge 1_{(?\infty ,x]}$，$g_{x,?}=1_{(?\infty ,x]}$當$X_n\in (?\infty ,x]$時，當$X_n\in (x,x+?)$時，$\infty >g_{x,?}>0$，當$X_n\ge x+?$時，$g_{x,?}=0$，從而$g_{x,?}$有界并且根據定義二
$$\begin{gathered} \underset{n}{\mathrm{limsup}}P(X_n\le x)\le \underset{n}{\mathrm{limsup}}E{g}_{x,?}(X_n) \\ =E{g}_{x,?}(X)\le P(X\le x+?) \end{gathered}$$

于是
$$\underset{n}{\mathrm{limsup}}{F}_n(x)\le F(x+?)$$

引入函數$h_{x,?}\le 1_{(?\infty ,x]}$，$h_{x,?}=1_{(?\infty ,x??]}$當$X_n\in (?\infty ,x??]$時，當$X_n>x??$時，$h_{x,?}=0$，從而$h_{x,?}$有界并且根據定義二
$$\begin{gathered} \underset{n}{\mathrm{liminf}}P(X_n\le x)\ge \underset{n}{\mathrm{liminf}}E{h}_{x,?}(X_n) \\ =E{h}_{x,?}(X)\ge P(X\le x??) \end{gathered}$$

于是
$$\underset{n}{\mathrm{liminf}}{F}_n(x)\ge F(x??)$$

因此當$x$為連續點時

$$F(x??)\le \underset{n}{\mathrm{liminf}}{F}_n(x)=F(x)\le \underset{n}{\mathrm{limsup}}{F}_n(x)\le F(x+?)$$

所以$F_n(x)\to F(x)$當$x$為連續點時。

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性質二：依概率收斂/幾乎必然收斂則依分布收斂

說明 根據定義等價性的證明$1?2$那步可以看出，依概率收斂/幾乎必然收斂則有界收斂定理成立，于是可以根據定義二得到依分布收斂。

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性質三：Continuous mapping theorem 依分布收斂序列的連續映射也依分布收斂：

如果$X_n{\to }_{d}X$，并且$g(X)$不連續的概率為0，則$g(X_n){\to }_{d}g(X)$

證明
根據Skorohod定理，存在$Y_n{=}_d{X}_n,Y{=}_{d}X$，使得$Y_n{\to }_{a.s.}Y$，即$Y_n(w)\to Y(w),?w\in N^C,P(N)=0$，假設$f$是一個有界連續函數，則當$Y(w)$是$f°g$的連續點時，$f(g(Y_n(w)))\to f(g(Y(w))),?w\in N^C,P(N)=0$，所以$(f°g)(Y_n){\to }_{a.s.}(f°g)(Y)$，因為$f$有界，于是根據有界收斂定理，
$$E(f°g)(Y_n)\to E(f°g)(Y)$$

這樣就驗證了定義二，于是$g(X_n){\to }_{d}g(X)$。

需要注意到因為$g(X)$不連續的概率為0，$(f°g)(X)$不連續的概率也是0。

例 我們可以用概率論方法證明分析的結論，比如用性質三證明Riemann和的極限是Lebesgue積分：如果$f$Lebesgue可積
$$\frac{1}{n}\sum _{j=1}^{n}f(j/n)\to {\int }_0^{1}fdx$$

考慮$\{k/n:k=1,2,?,n\}$上的均勻分布$X_n$，它的分布為${\mu }_n$，累積分布函數為
$$F_n(x)=\frac{?nx?}{n},0\le x\le 1$$

考慮$(0,1)$上的均勻分布$X$，它的分布為$\mu$，累積分布函數為$F$，
$$F(x)=x,x\in (0,1)$$

上一講我們已經說明了${\mu }_n?\mu$，根據continuous mapping theorem，
$$f(X_n){\to }_{d}f(X)$$

于是根據有界收斂定理，
$$\frac{1}{n}\sum _{j=1}^{n}f(j/n)=E[f(X_n)]\to E[f(X)]={\int }_0^{1}fdx$$

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性質四 Slutzky定理 $X_n{\to }_{d}X,{\xi }_n{\to }_{p}c$，則$X_n+{\xi }_n{\to }_{d}X+c$

這個結果可以用另一個結果說明：
$X_n{\to }_{d}X,{\xi }_n{\to }_d\xi$，并且$X_n,{\xi }_n$獨立，則$X_n+{\xi }_n{\to }_{d}X+\xi$

總結

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