UA MATH567 高维统计III 随机矩阵4 欧氏空间上的集网与覆盖
UA MATH567 高維統計III 隨機矩陣4 歐氏空間上的集網與覆蓋
這一講我們進一步介紹?\epsilon?-網，上一講的定義net、covering與packing是比較抽象的，這一講我們在nnn維歐氏空間中討論這幾個概念，希望讀者能夠對net、covering與packing有一個比較直觀的認識，這一講的距離ddd都表示歐氏距離。
Minkowski和
假設A,B∈RnA,B \in \mathbb{R}^nA,B∈Rn，它們的Minkowski和為
A+B={a+b:a∈A,b∈B}A+B = \{a+b:a \in A,b \in B\}A+B={a+b:a∈A,b∈B}
比如A=B=S1A = B = S^{1}A=B=S1，則
定理：Covering與Packing與體積 假設KKK是歐氏空間的子集，
∣K∣∣?B2n∣≤N(K,d,?)≤P(K,d,?)≤∣K+?2B2n∣∣?2B2n∣\frac{|K|}{|\epsilon B_2^n|} \le N(K,d,\epsilon) \le P(K,d,\epsilon) \le \frac{|K+\frac{\epsilon}{2}B_2^n|}{|\frac{\epsilon}{2}B_2^n|}∣?B2n?∣∣K∣?≤N(K,d,?)≤P(K,d,?)≤∣2??B2n?∣∣K+2??B2n?∣?
這里的?B2n\epsilon B_2^n?B2n?表示歐氏空間中半徑為?\epsilon?的球，∣?∣|\cdot|∣?∣表示歐氏空間中的體積。
評述
球的covering與體積：用B2nB_2^nB2n?表示歐氏空間中的單位球，
1?n≤N(B2n,d,?)≤(2?+1)n\frac{1}{\epsilon^n} \le N(B_2^n,d,\epsilon) \le \left( \frac{2}{\epsilon}+1 \right)^n?n1?≤N(B2n?,d,?)≤(?2?+1)n
如果定理成立，取K=B2nK=B_2^nK=B2n?，則
∣K∣∣?B2n∣=∣B2n∣∣?B2n∣=1?n∣K+?2B2n∣∣?2B2n∣=∣B2n+?2B2n∣∣?2B2n∣=∣(1+?2)B2n∣∣?2B2n∣=(2?+1)n\frac{|K|}{|\epsilon B_2^n|} = \frac{|B_2^n|}{|\epsilon B_2^n|} = \frac{1}{\epsilon^n} \\ \frac{|K+\frac{\epsilon}{2}B_2^n|}{|\frac{\epsilon}{2}B_2^n|} = \frac{|B_2^n+\frac{\epsilon}{2}B_2^n|}{|\frac{\epsilon}{2}B_2^n|}=\frac{|(1+\frac{\epsilon}{2})B_2^n|}{|\frac{\epsilon}{2}B_2^n|} = \left( \frac{2}{\epsilon}+1 \right)^n∣?B2n?∣∣K∣?=∣?B2n?∣∣B2n?∣?=?n1?∣2??B2n?∣∣K+2??B2n?∣?=∣2??B2n?∣∣B2n?+2??B2n?∣?=∣2??B2n?∣∣(1+2??)B2n?∣?=(?2?+1)n
于是
1?n≤N(B2n,d,?)≤(2?+1)n\frac{1}{\epsilon^n} \le N(B_2^n,d,\epsilon) \le \left( \frac{2}{\epsilon}+1 \right)^n?n1?≤N(B2n?,d,?)≤(?2?+1)n
證明
上一講我們推導過N(K,d,?)≤P(K,d,?)N(K,d,\epsilon) \le P(K,d,\epsilon)N(K,d,?)≤P(K,d,?)，于是我們只需說明上下界即可：
i) 記N=N(K,d,?)N=N(K,d,\epsilon)N=N(K,d,?)，則我們可以取x1,?,xN∈Nx_1,\cdots,x_N \in \mathcal{N}x1?,?,xN?∈N使得?i=1NB(xi,?)?K\bigsqcup_{i=1}^N B(x_i,\epsilon) \supset K?i=1N?B(xi?,?)?K，于是
N∣?B2n∣≥KN |\epsilon B_2^n| \ge KN∣?B2n?∣≥K
所以
∣K∣∣?B2n∣≤N(K,d,?)\frac{|K|}{|\epsilon B_2^n|} \le N(K,d,\epsilon)∣?B2n?∣∣K∣?≤N(K,d,?)
ii) 記M=P(K,d,?)M = P(K,d,\epsilon)M=P(K,d,?)，則我們可以取y1,?,yMy_1,\cdots,y_My1?,?,yM?使得?i=1MB(yi,?2)?K+(?2B2n)\bigsqcup_{i=1}^M B(y_i,\frac{\epsilon}{2}) \subset K+(\frac{\epsilon}{2}B_2^n)?i=1M?B(yi?,2??)?K+(2??B2n?)，因此
P(K,d,?)≤∣K+?2B2n∣∣?2B2n∣P(K,d,\epsilon) \le \frac{|K+\frac{\epsilon}{2}B_2^n|}{|\frac{\epsilon}{2}B_2^n|}P(K,d,?)≤∣2??B2n?∣∣K+2??B2n?∣?
總結
以上是生活随笔為你收集整理的UA MATH567 高维统计III 随机矩阵4 欧氏空间上的集网与覆盖的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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