UA MATH563 概率論的數學基礎 中心極限定理17 0-1律的應用

第14講到第16講我們介紹了Kolmogorov非常著名的幾大定理（如下），事實上Kolmogorov開發出這些定理的目標是證明強大數定律（第十二講）：
強大數定律(SLLN by Kolmogorov) 假設$X_1,?,X_n,n\ge 1$是iid的隨機變量，$E|X_1|<\infty$，則
$$\bar{X}{\to }_{as}E{X}_1$$

顯然根據Kolmogorov 3-series Theorem，我們很容易就能得到這個結果。但Kolmogorov開發出的這些定理在實踐中都具有非常廣泛的應用，這一講我們介紹一個例題。

Kolmogorov maximal inequality
假設$X_1,?,X_n$是獨立的隨機變量，并且$E{X}_i=0,Var{X}_i<\infty$，則
$$P(\underset{1\le k\le n}{\max }|S_k|\ge x)\le \frac{Var(S_n)}{x^2}$$

其中
$$S_k=\sum _{i=1}^k{X}_i$$

Kolmogorov 0-1律
假設$\{X_j{\}}_{j\ge 1}$獨立，則$\tau$是一個trivial $\sigma$-代數，即
$$?A\in \tau ,P(A)=0or1$$

Kolmogorov 3-series Theorem
假設$\{X_i{\}}_{i\ge 1}$獨立，$A>0$，定義$Y_i=X_i{1}_{|X_i|\le A}$，則${\sum }_{n\ge 1}{X}_n$幾乎必然收斂的充要條件是：

${\sum }_{n\ge 1}P(|X_n|>A)<\infty$

${\sum }_{n\ge 1}E[Y_n]$收斂

${\sum }_{n\ge 1}Var(Y_n)$收斂

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例1
假設$Y_i$是獨立的Bernoulli隨機變量，$P(Y_i=1)=p_i,P(Y_i=0)=1?p_i$, $p_i=1/i,i\ge 1$，${\sum }_{i\ge 1}{Y}_i$會幾乎必然收斂嗎？

方法一：
我們先用Kolmogorov 0-1律分析，因為${\sum }_{i\ge 1}{Y}_i$是$\tau$-可測的，于是${\sum }_{i\ge 1}{Y}_i$依概率1收斂或者依概率1發散。我們需要確定就是到底是哪一種情況。

記$A_i=\{Y_i=1\}$，則$A_i$是獨立事件，因為
$$\sum P(A_i)=\sum P(Y_i=1)=\sum 1/i=\infty$$

(Borel-Cantelli引理2 如果$A_n$互相獨立，且${\sum }_{n\ge 1}P(A_n)=\infty$，則$P(A_{n}i.o.)=1$)

根據Borel-Cantelli引理2，
$$P(A_{i}i.o.)=1$$

于是$\{Y_i\}$的realization中無限個1，因此${\sum }_{i\ge 1}{Y}_i$依概率1發散。

方法二：
$$\begin{gathered} \sum P(|Y_n|>1)=0 \\ \sum _{n}E[Y_n]=\sum 1/n=\infty \\ \sum Var(Y_n)=\sum \frac{n?1}{n^2}=\infty \end{gathered}$$

于是，根據Kolmogorov 3-series Theorem，${\sum }_n{Y}_n$依概率1發散。

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總結

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