矩陣分析與多元統計1 線性空間與線性變換3 特征值

• 線性變換
• • 線性空間的同構
• 線性變換的特征值與特征向量
• • 幾何重數與代數重數

線性變換

從線性空間$V$到它自身的線性映射叫做線性變換，在基${\alpha }_1,?,{\alpha }_n$下表示線性變換為
$$\mathcal{A}({\alpha }_1,?,{\alpha }_n)=({\alpha }_1,?,{\alpha }_n)A$$
線性變換的加、減、乘積、數乘與逆都是線性變換，他們的矩陣表示就是這些線性變換的加、減、乘積、數乘與逆。

假設${\alpha }_1^{\prime },?,{\alpha }_n^{\prime }$是線性空間中的另一組基，從${\alpha }_1,?,{\alpha }_n$到${\alpha }_1^{\prime },?,{\alpha }_n^{\prime }$的過渡矩陣為$P$，線性變換在基${\alpha }_1,?,{\alpha }_n$下的矩陣表示為$B$，則
$$B=P^{?1}AP$$
此時稱矩陣$A$與$B$相似，記為$A～B$，矩陣相似是一種二元關系。

線性空間的同構

假設$\sigma$是線性空間$V_1$到$V_2$的線性一一對應，則稱$V_1$與$V_2$同構，$\sigma$是$V_1$到$V_2$的同構映射。

定理 數域$F$上兩個有限維線性空間同構的充要條件是他們的維數相等。

這個定理的意義相當重要，這說明我們在研究線性空間的時候不用在意線性空間的構造以及線性運算的定義，只需要關注線性空間這種代數結構的普適性質。

線性變換的特征值與特征向量

$\mathcal{A}:V\to V$是數域$F$上的線性變換，$?\alpha =0$
$$\mathcal{A}(\alpha )={\lambda }_0\alpha ,{\lambda }_0\in F$$
稱${\lambda }_0$是$\mathcal{A}$的特征值，$\alpha$是屬于${\lambda }_0$的一個特征向量。假設$\alpha$在基${\alpha }_1,?,{\alpha }_n$中的坐標為$x=[x_1,?,x_n{]}^{\prime }$，則
$$\alpha =({\alpha }_1,?,{\alpha }_n)x$$
如果線性變換$\mathcal{A}$的矩陣表示為$A$，則
$$\mathcal{A}(\alpha )=({\alpha }_1,?,{\alpha }_n)A$$
根據特征值的定義
$$({\alpha }_1,?,{\alpha }_n)Ax={\lambda }_0({\alpha }_1,?,{\alpha }_n)x$$
因為${\alpha }_1,?,{\alpha }_n$線性無關，因此
$$Ax={\lambda }_{0}x$$
這個方程給說明特征向量滿足$({\lambda }_0{I}_n?A)X=0$，并且是這個齊次線性方程的非零解，而這個齊次線性方程有非零解的條件為$|{\lambda }_0{I}_n?A|=0$。注意到
$$|{\lambda }_0{I}_n?A|={\lambda }_0^n?E_1(A){\lambda }_0^{n?1}+E_2(A){\lambda }_0^{n?2}+?+(?1{)}^n{E}_n(A){\lambda }_0^0$$
其中$E_1(A),?,E_n(A)$的系數，他們依次是$A$的$1,2,?,n$階子式之和，比較特殊的是
$$E_1(A)=trA,E_2(A)=\det (A)$$

稱$\lambda I_n?A$是矩陣$A$的特征矩陣，$|\lambda I_n?A|$是矩陣$A$的特征多項式，$|\lambda I_n?A|=0$是矩陣$A$的特征方程，它的根是矩陣$A$的特征值。某個特征值${\lambda }_0$對應的$({\lambda }_0{I}_n?A)X=0$的解是矩陣$A$屬于特征值${\lambda }_0$的特征向量。$n$階多項式方程有$n$個根（復數域上），稱這$n$個根是矩陣$A$的譜，記為$\lambda (A)$。

關于特征值與特征向量有兩個重要性質：

相似矩陣有相同的特征值，比如$?B=P^{?1}AP$，$A$和$B$有相同特征值；

假設$\xi$是$A$的屬于特征值$\lambda$的特征向量，則$P^{?1}\xi$是$B$的屬于特征值$\lambda$的特征向量。

證明
假設${\lambda }_0\in F$滿足$Ax={\lambda }_{0}x,?x$，記$y=P^{?1}x$，則
$$APy=P{\lambda }_{0}y?By=P^{?1}APy=P^{?1}P{\lambda }_{0}y={\lambda }_{0}y,?y$$
證畢

幾何重數與代數重數

假設$A$的譜為${\lambda }_1,?,{\lambda }_r$對應的重根數為$p_1,?,p_r$，則
$$p_1+?+p_r=n$$
稱$p_1,?,p_r$為代數重數。屬于特征值${\lambda }_i,i=1,?,r$的特征向量張成的子空間叫做$A$的屬于特征值${\lambda }_i$的特征子空間，記為$V_{{\lambda }_i}$，定義$q_i=\dim V_{{\lambda }_i}$，稱$q_i,i=1,?,r$為幾何重數。$A$的特征向量有如下性質：

屬于不同特征值的特征向量線性無關；

$q_i\le p_i,?i$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的矩阵分析与多元统计1 线性空间与线性变换3 特征值的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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