題意

有一棵 \(n\) 個(gè)節(jié)點(diǎn)且以 \(1\) 為根的樹，把它復(fù)制成 \(m\) 個(gè)版本，有 \(q\) 次操作，每次對 \([l, r]\) 這些版本的 \(v\) 節(jié)點(diǎn)到根的路徑收縮起來。

收縮 \(v\) 也就是把 \(v\) 到根路徑上（除了根）所有點(diǎn)的父親都變成根。

最后查詢每個(gè)版本的每個(gè)點(diǎn)的 \(dep\) 之和。

數(shù)據(jù)范圍

\(n, m, q \le 2 \times 10^5\)

題解

操作順序是無所謂的，我們假設(shè)操作了點(diǎn)集 \(S\) ，那么最后被縮上去的點(diǎn)其實(shí)就是 \(\{S, root\}\) 構(gòu)成虛樹經(jīng)過的節(jié)點(diǎn)。

每個(gè)點(diǎn)的深度其實(shí)它原來的深度減去它到根（除了根與根的兒子）被縮的點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

考慮祖先對它的貢獻(xiàn)是比較麻煩的，我們不妨考慮它對于祖先的貢獻(xiàn)，其實(shí)就是每個(gè)深度 \(\ge 2\) 的節(jié)點(diǎn)的子樹 \(size\) 之和。

那么我們把操作離線，只需要?jiǎng)討B(tài)維護(hù)虛樹經(jīng)過所有點(diǎn)的權(quán)值和。

這其實(shí)是一個(gè)經(jīng)典的動(dòng)態(tài)虛樹的問題，按照 \(dfs\) 序，用 std :: set 維護(hù)當(dāng)前的點(diǎn)集，假設(shè)插入點(diǎn)為 \(k\) 找到它的前驅(qū) \(l\) 與后繼 \(r\) ，令 \(\mathrm{LCA}(l, k), \mathrm{LCA}(r, k)\) 深度較大點(diǎn)為 \(f\) ，那么這次新產(chǎn)生的路徑是 \((k, f)\) 的路徑（注意 \(f\) 原來就是存在于虛樹中的，需要去掉），刪除是類似的。

注意可能一個(gè)點(diǎn)被縮多次，我們需要利用 std :: multiset ，然后每次插入刪除的時(shí)候查找是否還存在即可。

復(fù)雜度是 \(\mathcal O((n + q) \log n + m)\) 的。

代碼

#include <bits/stdc++.h>#define For(i, l, r) for (register int i = (l), i##end = (int)(r); i <= i##end; ++i) #define Fordown(i, r, l) for (register int i = (r), i##end = (int)(l); i >= i##end; --i) #define Rep(i, r) for (register int i = (0), i##end = (int)(r); i < i##end; ++i) #define Set(a, v) memset(a, v, sizeof(a)) #define Cpy(a, b) memcpy(a, b, sizeof(a)) #define debug(x) cout << #x << ": " << (x) << endlusing namespace std;typedef long long ll; typedef pair<int, int> PII;template<typename T> inline bool chkmin(T &a, T b) { return b < a ? a = b, 1 : 0; } template<typename T> inline bool chkmax(T &a, T b) { return b > a ? a = b, 1 : 0; }inline int read() {int x(0), sgn(1); char ch(getchar());for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') sgn = -1;for (; isdigit(ch); ch = getchar()) x = (x * 10) + (ch ^ 48);return x * sgn; }void File() { #ifdef zjp_shadowfreopen ("1954.in", "r", stdin);freopen ("1954.out", "w", stdout); #endif }const int N = 2e5 + 1e3;vector<int> G[N];ll ans = 0, sum[N];int n, m, q, dep[N], anc[N][20], Log2[N], sz[N], dfn[N];void Dfs_Init(int u, int fa = 0) {static int clk = 0; dfn[u] = ++ clk;dep[u] = dep[anc[u][0] = fa] + 1;ans += dep[u]; sz[u] = 1;for (int v : G[u]) if (v != fa) Dfs_Init(v, u), sz[u] += sz[v]; }void Get_Sum(int u, int fa = 0) {sum[u] = sum[fa] + (dep[u] > 1) * sz[u];for (int v : G[u]) if (v != fa) Get_Sum(v, u); }struct Cmp {inline bool operator () (const int &lhs, const int &rhs) { return dfn[lhs] < dfn[rhs]; } };vector<int> add[N], del[N]; multiset<int, Cmp> S;inline int Lca(int x, int y) {if (dep[x] < dep[y]) swap(x, y);int gap = dep[x] - dep[y];For (i, 0, Log2[gap]) if (gap >> i & 1) x = anc[x][i];if (x == y) return x;Fordown (i, Log2[dep[x]], 0)if (anc[x][i] != anc[y][i]) x = anc[x][i], y = anc[y][i];return anc[x][0]; }int Find(int x) {PII res; auto it = S.upper_bound(x);if (it != S.end()) {int tmp = Lca(*it, x); chkmax(res, {dep[tmp], tmp});}if (it != S.begin()) {int tmp = Lca(*prev(it), x); chkmax(res, {dep[tmp], tmp});}return res.second ? res.second : x; }int main () {File();n = read(); m = read(); q = read();For (i, 1, n - 1) {int u = read(), v = read();G[u].push_back(v); G[v].push_back(u);}while (q --) {int l = read(), r = read(), v = read();add[l].push_back(v); del[r + 1].push_back(v);}dep[0] = -1; Dfs_Init(1); Get_Sum(1);For (i, 2, n) Log2[i] = Log2[i >> 1] + 1;For (j, 1, Log2[n]) For (i, 1, n)anc[i][j] = anc[anc[i][j - 1]][j - 1];S.insert(1);For (i, 1, m) {for (int x : add[i]) {if (S.find(x) == S.end())ans -= sum[x] - sum[Find(x)];S.insert(x);}for (int x : del[i]) {S.erase(S.find(x));if (S.find(x) == S.end())ans += sum[x] - sum[Find(x)];}printf ("%lld%c", ans, i == iend ? '\n' : ' ');}return 0;}

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/zjp-shadow/p/10726212.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的hihoCoder #1954 : 压缩树(虚树)的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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