【数理知识】《数值分析》李庆扬老师-第9章-常微分方程初值问题数值解法
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【数理知识】《数值分析》李庆扬老师-第9章-常微分方程初值问题数值解法
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第9章-常微分方程初值問題數值解法
- 9.1 引言
- 利普希茨 (Lipschitz) 條件 / 利普希茨常數
- 定理1 解的存在唯一性定理
- 定理2 解對初值依賴的敏感性
- 9.2 簡單的數值方法
- 歐拉 (Euler) 方法
- 9.3 龍格-庫塔方法
- 9.4 單步法的收斂性與穩定性
- 9.5 線性多步法
- 9.6 線性多步法的收斂性與穩定性
- 9.7 一階方程組與剛性方程組
9.1 引言
一階常微分方程
y′=f(x,y),x∈[x0,b](1.1)y'=f(x,y),\quad x\in[x_0,b] \tag{1.1}y′=f(x,y),x∈[x0?,b](1.1)
y(x0)=y0(1.2)y(x_0)=y_0 \tag{1.2}y(x0?)=y0?(1.2)
利普希茨 (Lipschitz) 條件 / 利普希茨常數
定理1 解的存在唯一性定理
設 fff 在區域 D={(x,y)∣a≤x≤b,y∈R}D=\{(x,y)|a\le x \le b, y\in\mathbb{R}\}D={(x,y)∣a≤x≤b,y∈R} 上連續，關于 yyy 滿足利普希茨條件，則對任意 x0∈[a,b],y0∈Rx_0\in[a,b], y_0\in\mathbb{R}x0?∈[a,b],y0?∈R，常微分方程初值問題（1.1）式和（1.2）式當 x∈[a,b]x \in[a,b]x∈[a,b] 時存在唯一的連續可微解 y(x)y(x)y(x)。
定理2 解對初值依賴的敏感性
9.2 簡單的數值方法
積分曲線上一點 (x,y)(x,y)(x,y) 的切線斜率等于函數 f(x,y)f(x,y)f(x,y) 的值。
歐拉 (Euler) 方法
y(xn+1)?y(xn)h≈y′(xn)=f(xn,y(xn))\frac{y(x_{n+1})-y(x_n)}{h} \approx y'(x_n) = f(x_n, y(x_n))hy(xn+1?)?y(xn?)?≈y′(xn?)=f(xn?,y(xn?))
9.3 龍格-庫塔方法
9.4 單步法的收斂性與穩定性
9.5 線性多步法
9.6 線性多步法的收斂性與穩定性
9.7 一階方程組與剛性方程組
總結
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