常微分方程分類及求解

• 1. 基本概念
• • 1.1. 微分方程 (Differential Equation, D.E.)
  • 1.2. 常微分方程
  • 1.3. 解
  • 1.4. 通解
  • • 1.5. 通積分
  • 1.5. 階
  • 1.6. 齊次
  • 1.7. 線性
  • 1.8. 定解條件
  • 1.9. 特解
  • 1.10. 顯函數形式
  • 1.11. 隱函數形式
• 2. 求解方法
• • 2.1. 可分離變量型
  • 2.2. 齊次型
  • 2.3. 一階齊次線性型
  • 2.4. 一階非齊次線性型
  • 2.5. 可降階型
  • 2.6. 二階可降階型（缺y）
  • 2.7. 二階可降階型（缺x）
  • 2.8. 二階常系數齊次線性型
  • 2.9. 二階常系數非齊次線性型
• 3. 解的性質
• • 3.1. 線性組成
  • 3.2. 線性無關
  • 3.3. 疊加原理

1. 基本概念

在學習常微分方程之前，我們先了解一些基本的概念；我們在中學的時候都學過解方程（如：$x^2+5=0$ ），不過那都是函數方程（ $f(x)=0$，即含有未知數 $x$ 的方程）。

因此，我們就引出了一個新的概念，什么是微分方程？

1.1. 微分方程 (Differential Equation, D.E.)

方程中含有未知函數的**導數（或稱微分項）**的關系式，如：$$y^{\prime }+5y=3x(y=f(x))$$

因此，我們便可知道函數方程是關于未知數 $x$ 的，而微分方程是關于 $x$ 的導數或微分的。

1.2. 常微分方程

一個未知函數及其導數（或微分）的關系式，如：$$f^{\prime }(x)?7f(x)=0$$

這個“常” (Ordinary) 表示平常，也就是一般情況（理想情況）下的微分方程，這個方程只有一個未知函數；正因為如此，我們在尚未進行特殊說明的情況下，默認 D.E. 表示常微分方程。

1.3. 解

能使 D.E. 的關系式恒成立的函數，形如 $$y=f(x)$$

先回顧以下我們熟悉的函數方程，它的解是什么？是滿足函數關系式的未知數，也就是 $x=C(C一般是常數)$；不難推出 D.E. 的解也要滿足關系式，是長成 $y=f(x)$ 的樣子。

1.4. 通解

帶有常數 $C$ 的解，如：$$y=C_1{x}^2+C_2{e}^x(有兩項)$$

1.5. 通積分

1.5. 階

1.6. 齊次

1.7. 線性

1.8. 定解條件

1.9. 特解

1.10. 顯函數形式

1.11. 隱函數形式

2. 求解方法

2.1. 可分離變量型

2.2. 齊次型

2.3. 一階齊次線性型

$$y^{\prime }+p(x)y=0$$

方程組的形式為：
$$Ax=0$$

2.4. 一階非齊次線性型

$$y^{\prime }+p(x)y=q(x)$$

方程組的形式為：
$$Ax=b$$

2.5. 可降階型

2.6. 二階可降階型（缺y）

2.7. 二階可降階型（缺x）

2.8. 二階常系數齊次線性型

2.9. 二階常系數非齊次線性型

3. 解的性質

3.1. 線性組成

3.2. 線性無關

3.3. 疊加原理

From: （回憶大學所學）常微分方程

總結

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