李亞普諾夫穩定性分析

• 李亞普諾夫穩定性分析
• • 1. 系統平衡狀態
  • 2. 穩定性
  • • 2.1 李亞普諾夫意義下的穩定
    • 2.2 漸進穩定 / 2.3 大范圍穩定
    • 2.4 不穩定
  • 3. 李亞普諾夫第一法
  • 4. 李亞普諾夫第二法
  • 5. 李亞普諾夫穩定性判據
  • 6. 李亞普諾夫輔助判據
  • 7. 李亞普諾夫不穩定判據
  • 8. 李亞普諾夫第二法的幾點說明

李亞普諾夫穩定性分析

1. 系統平衡狀態

對于一個不受外力作用的系統

$$\dot{x}=f(x,t),x(t_0)=x_0,t\ge t_0$$

如果存在某個狀態 $x_e$，使 $\dot{x_e}=f(x_e,t)=0,?x\ge t_0$成立，則稱 $x_e$ 為系統的一個平衡狀態。

對于線性系統：$\dot{x}=Ax,A{x}_e=0$
當 $A$ 非奇異，系統只有唯一的一個平衡狀態，$x_e=0$，
當 $A$ 奇異，則存在無窮多個平衡狀態。

對于非線性系統通常存在多個平衡狀態。

例如：對于非線性系統

$\{\begin{array}{rl}& \dot{x_1}=?x_1\\ & \dot{x_2}=x_1+x_2?x_2^3\end{array}$

其平衡狀態為方程：

$\{\begin{array}{rl}& x_1=0\\ & x_1+x_2?x_2^3=0\end{array}$

的解，可解得有三個平衡狀態：$x_{e_1}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$，$x_{e_2}=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$，$x_{e_3}=\left[\begin{array}{c}0\\ ?1\end{array}\right]$。

孤立的平衡狀態：如果平衡狀態是彼此孤立的，即在某一平衡狀態的任意小的鄰域內不存在其他平衡狀態，則稱該平衡狀態為孤立的平衡狀態。

2. 穩定性

2.1 李亞普諾夫意義下的穩定

若一不受外力作用的系統（自治系統）

$$\dot{x}=f(x,t),x(t_0)=x_0,t\ge t_0$$

對任意選定的實數 $?>0$，都存在另一實數 $\delta (?,t_0)>0$，使得由滿足不等式

$$||x_0?x_e||<\delta (?,t_0)$$

的任一初始狀態出發的受擾運動都滿足不等式

$$||\Phi (t;x_0,t_0)?x_e||<?,t\ge t_0$$

則稱孤立平衡狀態 $x_e$ 為李亞普諾夫意義下的穩定狀態。

如下圖所示，系統狀態從 $x_0$ 出發，無論怎么運動，都處于藍色區域之內。

若 $\delta$ 的取值與 $t_0$ 無關，則稱這個孤立平衡狀態是一致穩定的。

2.2 漸進穩定 / 2.3 大范圍穩定

2.4 不穩定

3. 李亞普諾夫第一法

4. 李亞普諾夫第二法

關于系統正定等概念參考正定 負定 半正定 半負定

5. 李亞普諾夫穩定性判據

定理（李亞普諾夫穩定性主判據）：設系統的狀態方程為：$\dot{x}=f(x)$，
若存在一個具有連續一階導數的標量函數 $V(x)$ 且滿足：

$V(x)$ 是正定的

$\dot{V(x)}$ 是負定的；

則系統在平衡狀態 $x_e=0$ 是漸進穩定的。

除滿足條件（1）、（2）外，若 $||x||\to \infty$，有 $V(x)\to \infty$，則系統在平衡狀態 $x_e=0$ 是大范圍漸進穩定的。

例：對于非線性系統

$\{\begin{array}{rl}& \dot{x_1}=x_2?x_1(x_1^2+x_2^2)\\ & \dot{x_2}=?x_1?x_2(x_1^2+x_2^2)\end{array}$

試判別其平衡狀態 $x_e=0$ 的穩定性。

解：取正定標量函數：$V(x)=x_1^2+x_2^2$

$V(x)$ 對時間的導數為：$\dot{V}(x)=2x_1\dot{x_1}+2x_2\dot{x_2}=?2(x_1^2+x_2^2)$

由于 $V(x)$ 正定，$\dot{V}(x)$ 負定，故系統在平衡狀態 $x_e=0$ 是漸進穩定的。

由于當 $||x||\to \infty$，有 $V(x)\to \infty$，故系統在平衡狀態 $x_e=0$ 是大范圍漸進穩定的。

6. 李亞普諾夫輔助判據

定理（李亞普諾夫穩定性輔助判據）：設系統的狀態方程為：$\dot{x}=f(x)$，
若存在一個具有連續一階導數的標量函數 $V(x)$ 且滿足：

$V(x)$ 是正定的

$\dot{V(x)}$ 是半負定的；

對于任意初始狀態 $x(t_0)=0$，在 $t\ge t_0$，除 $x=0$ 時，有 $\dot{V}(x)=0$外，$\dot{V}(x)$ 不恒等于零。
則系統在平衡狀態 $x_e=0$ 是漸進穩定的。

除滿足條件（1）、（2）、（3）外，若 $||x||\to \infty$，有 $V(x)\to \infty$，則系統在平衡狀態 $x_e=0$ 是大范圍漸進穩定的。

注：
$\dot{V}(x)$ 半負定，說明在 $t\ge t_0$ 的某些時刻，系統的“能量”不再減少；
$\dot{V}(x)$ 不恒等于零，表明系統“能量”不再減少的狀態不能保持，即系統會繼續減少能量，直到平衡狀態。

7. 李亞普諾夫不穩定判據

定理（李亞普諾夫不穩定性判據）：設系統的狀態方程為：$\dot{x}=f(x)$，
若存在一個具有連續一階導數的標量函數 $V(x)$ 且滿足：

$V(x)$ 是正定的

$\dot{V}(x)$ 是正定的；

則系統在平衡狀態 $x_e=0$ 是不穩定的。

例：系統的狀態方程為：

$\{\begin{array}{rl}& \dot{x_1}=x_1+x_2\\ & \dot{x_2}=?x_1+x_2\end{array}$

試判別其平衡狀態 $x_e=0$ 的穩定性。

解：取正定標量函數：$V(x)=x_1^2+x_2^2$

$V(x)$ 對時間的導數為：$\dot{V}(x)=2x_1\dot{x_1}+2x_2\dot{x_2}=2(x_1^2+x_2^2)$

由于 $V(x)$ 正定，$\dot{V}(x)$ 也正定，故系統在平衡狀態 $x_e=0$ 是不穩定的。

8. 李亞普諾夫第二法的幾點說明

李亞普諾夫函數是一個標量函數；是一個正定函數；對于一個給定系統，李亞普諾夫函數不是唯一的。

不僅對于線性系統，而且對于非線性系統，它都能給出關于大范圍內穩定的信息。

李亞普諾夫穩定性定理只是充分條件；對于一個特定系統，若不能找到一個合適的李亞普諾夫函數來判定系統的穩定性，則不能給出該系統穩定性的任何信息。

李亞普諾夫穩定性理論沒有提供構造李亞普諾夫函數的一般方法；李亞普諾夫函數最簡單的形式是二次型函數。

From: 浙江大學2020公開課【現代控制理論】

如果系統

$$\dot{x}=Ax+Bu,x(t_0)=x_0$$

是漸進穩定的，當且僅當對于任意給定的正定對稱矩陣$Q$，李亞普諾夫方程

$$A^{T}P+PA=?Q$$

有唯一正定對稱解陣$P$。

Ref:

(1)Lyapunov直接法與間接法, why

(2)Autonomous System的穩定性定義

(3)Lyapunov函數與Autonomous System的穩定性判別

(4)La Salle不變集原理與漸近穩定

如何理解李雅普諾夫穩定性分析

總結

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