之前我們講述了一大堆的積分技巧：

槿靈兮：第十九天（20,11,26）：無理代數分式的積分法?zhuanlan.zhihu.com

今天我們過渡一下下，開始涉及一點積分的證明題~

我首先想介紹兩個基本的定理，可能有些學高數的小伙伴沒見過：

積分平均值定理:

如果函數

在閉區間 連續， 在 不變號，并且 在 閉區間 是可積的，則在 上存在一點 ，使得下式成立：

特別地， 當

，有：

積分第一中值定理：

.

證明：因為

在 不變號，不妨設 .

由函數

在閉區間 連續可知：

在區間 存在最大值 和最小值 .

則有：

在等式兩邊同時乘以

，得到： .

同時取積分，得：

若 ，那么 ，上述結論顯然成立。 若 ，那么 ，

因為

在閉區間 連續，由介值定理： ，使得

即：

.

關于它的推廣：

積分第一中值定理有幾種推廣形式？?www.zhihu.com

定積分第二中值定理（貌似知乎上涉及到它的內容很少？）：

設函數

在 上可積， 在 上單調，則存在 , 使得： .

證明：令

.

首先需要證明，若函數

在 內可積分，則 在此區間內為一連續函數。

設：

，則：

因

在 上不變號，則由積分第一中值定理知，在 上至少存在一點 ，使得： .

于是，有：

剛剛看到了一張很有利于理解的圖：

如果想進一步理解的話可以看@御龍在天S 的回答：

怎樣比較直觀的理解積分第二中值定理？感覺教科書上的不太好理解?www.zhihu.com

*關于積分不等式的應用：

更多的例題在之后涉及到積分不等式的時候我們會看到~

碼字不易，望大家多多支持~

Give me space, time, and logarithms, and I will create a universe. ——

祝君好運~

總結

以上是生活随笔為你收集整理的定积分证明题例题_第二十天（20,11,27）：积分中值定理的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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