一套图 搞懂“时间复杂度”（转载）
本文轉(zhuǎn)載自https://blog.csdn.net/qq_41523096/article/details/82142747，感謝博主，如有侵權(quán)，請聯(lián)系我刪除
其實(shí)時(shí)間復(fù)雜度就是代碼的基本操作執(zhí)行次數(shù)
?
轉(zhuǎn)載的內(nèi)容
寫在前面：
這篇文章是在公眾號(hào)： 程序員小灰 中發(fā)布的。是我到目前為止所看到的關(guān)于時(shí)間復(fù)雜度介紹的最好的文章，簡介 清晰 明了。
所以拿來po出來 僅供學(xué)習(xí)交流，如侵則刪。
現(xiàn)已將此文收錄至：?《數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)》C語言版 (清華嚴(yán)蔚敏考研版） 全書知識(shí)梳理
正文：?
?
?
?
時(shí)間復(fù)雜度的意義
?
究竟什么是時(shí)間復(fù)雜度呢？讓我們來想象一個(gè)場景：某一天，小灰和大黃同時(shí)加入了一個(gè)公司......
一天過后，小灰和大黃各自交付了代碼，兩端代碼實(shí)現(xiàn)的功能都差不多。大黃的代碼運(yùn)行一次要花100毫秒，內(nèi)存占用5MB。小灰的代碼運(yùn)行一次要花100秒，內(nèi)存占用500MB。于是......
由此可見，衡量代碼的好壞，包括兩個(gè)非常重要的指標(biāo)：
1.運(yùn)行時(shí)間；
2.占用空間。
?
基本操作執(zhí)行次數(shù)
?
關(guān)于代碼的基本操作執(zhí)行次數(shù)，我們用四個(gè)生活中的場景，來做一下比喻：
場景1：給小灰一條長10寸的面包，小灰每3天吃掉1寸，那么吃掉整個(gè)面包需要幾天？
答案自然是 3 X 10 = 30天。
如果面包的長度是 N 寸呢？
此時(shí)吃掉整個(gè)面包，需要 3 X n = 3n 天。
如果用一個(gè)函數(shù)來表達(dá)這個(gè)相對時(shí)間，可以記作?T（n） = 3n。
場景2：給小灰一條長16寸的面包，小灰每5天吃掉面包剩余長度的一半，第一次吃掉8寸，第二次吃掉4寸，第三次吃掉2寸......那么小灰把面包吃得只剩下1寸，需要多少天呢？
這個(gè)問題翻譯一下，就是數(shù)字16不斷地除以2，除幾次以后的結(jié)果等于1？這里要涉及到數(shù)學(xué)當(dāng)中的對數(shù)，以2位底，16的對數(shù)，可以簡寫為log16。
因此，把面包吃得只剩下1寸，需要 5 X log16 = 5 X 4 = 20 天。
如果面包的長度是 N 寸呢？
需要?5 X logn = 5logn天，記作?T（n） =?5logn。
場景3：給小灰一條長10寸的面包和一個(gè)雞腿，小灰每2天吃掉一個(gè)雞腿。那么小灰吃掉整個(gè)雞腿需要多少天呢？
答案自然是2天。因?yàn)橹徽f是吃掉雞腿，和10寸的面包沒有關(guān)系?。
如果面包的長度是 N 寸呢？
無論面包有多長，吃掉雞腿的時(shí)間仍然是2天，記作?T（n） = 2。
場景4：給小灰一條長10寸的面包，小灰吃掉第一個(gè)一寸需要1天時(shí)間，吃掉第二個(gè)一寸需要2天時(shí)間，吃掉第三個(gè)一寸需要3天時(shí)間.....每多吃一寸，所花的時(shí)間也多一天。那么小灰吃掉整個(gè)面包需要多少天呢？
答案是從1累加到10的總和，也就是55天。
如果面包的長度是 N 寸呢？
此時(shí)吃掉整個(gè)面包，需要 1+2+3+......+ n-1 + n = (1+n)*n/2 = 0.5n^2 + 0.5n。
記作?T（n） = 0.5n^2 + 0.5n。
上面所講的是吃東西所花費(fèi)的相對時(shí)間，這一思想同樣適用于對程序基本操作執(zhí)行次數(shù)的統(tǒng)計(jì)。剛才的四個(gè)場景，分別對應(yīng)了程序中最常見的四種執(zhí)行方式：
場景1：T（n） = 3n，執(zhí)行次數(shù)是線性的。
?void?eat1(int?n){
????for(int?i=0;?i<n;?i++){;
????????System.out.println("等待一天");
????????System.out.println("等待一天");
????????System.out.println("吃一寸面包");
????}
}
vo
場景2：T（n） = 5logn，執(zhí)行次數(shù)是對數(shù)的。
?void?eat2(int?n){
???for(int?i=1;?i<n;?i*=2){
???????System.out.println("等待一天");
???????System.out.println("等待一天");
???????System.out.println("等待一天");
???????System.out.println("等待一天");
???????System.out.println("吃一半面包");
???}
}
場景3：T（n） = 2，執(zhí)行次數(shù)是常量的。
?void?eat3(int?n){
???System.out.println("等待一天");
???System.out.println("吃一個(gè)雞腿");
}
場景4：T（n） = 0.5n^2 + 0.5n，執(zhí)行次數(shù)是一個(gè)多項(xiàng)式。
?void?eat4(int?n){
???for(int?i=0;?i<n;?i++){
???????for(int?j=0;?j<i;?j++){
???????????System.out.println("等待一天");
???????}
???????System.out.println("吃一寸面包");
???}
}
?
漸進(jìn)時(shí)間復(fù)雜度
?
有了基本操作執(zhí)行次數(shù)的函數(shù) T（n），是否就可以分析和比較一段代碼的運(yùn)行時(shí)間了呢？還是有一定的困難。
比如算法A的相對時(shí)間是T（n）= 100n，算法B的相對時(shí)間是T（n）= 5n^2，這兩個(gè)到底誰的運(yùn)行時(shí)間更長一些？這就要看n的取值了。
所以，這時(shí)候有了漸進(jìn)時(shí)間復(fù)雜度（asymptotic time complexity）的概念，官方的定義如下：
若存在函數(shù) f（n），使得當(dāng)n趨近于無窮大時(shí)，T（n）/ f（n）的極限值為不等于零的常數(shù)，則稱 f（n）是T（n）的同數(shù)量級(jí)函數(shù)。
記作?T（n）= O（f（n）），稱O（f（n）） 為算法的漸進(jìn)時(shí)間復(fù)雜度，簡稱時(shí)間復(fù)雜度。
漸進(jìn)時(shí)間復(fù)雜度用大寫O來表示，所以也被稱為大O表示法。
如何推導(dǎo)出時(shí)間復(fù)雜度呢？有如下幾個(gè)原則：
如果運(yùn)行時(shí)間是常數(shù)量級(jí)，用常數(shù)1表示；
只保留時(shí)間函數(shù)中的最高階項(xiàng)；
如果最高階項(xiàng)存在，則省去最高階項(xiàng)前面的系數(shù)。
讓我們回頭看看剛才的四個(gè)場景。
場景1：
T（n） = 3n?
最高階項(xiàng)為3n，省去系數(shù)3，轉(zhuǎn)化的時(shí)間復(fù)雜度為：
T（n） =? O（n）
場景2：
T（n） = 5logn?
最高階項(xiàng)為5logn，省去系數(shù)5，轉(zhuǎn)化的時(shí)間復(fù)雜度為：
T（n） =? O（logn）
場景3：
T（n） = 2
只有常數(shù)量級(jí)，轉(zhuǎn)化的時(shí)間復(fù)雜度為：
T（n） =? O（1）
場景4：
T（n） = 0.5n^2 + 0.5n
最高階項(xiàng)為0.5n^2，省去系數(shù)0.5，轉(zhuǎn)化的時(shí)間復(fù)雜度為：
T（n） =? O（n^2）
這四種時(shí)間復(fù)雜度究竟誰用時(shí)更長，誰節(jié)省時(shí)間呢？稍微思考一下就可以得出結(jié)論：
O（1）<?O（logn）<?O（n）<?O（n^2）
在編程的世界中有著各種各樣的算法，除了上述的四個(gè)場景，還有許多不同形式的時(shí)間復(fù)雜度，比如：
O（nlogn）,?O（n^3）,?O（m*n），O（2^n），O（n！）
今后遨游在代碼的海洋里，我們會(huì)陸續(xù)遇到上述時(shí)間復(fù)雜度的算法。
?
時(shí)間復(fù)雜度的巨大差異
?
?
我們來舉過一個(gè)栗子：
算法A的相對時(shí)間規(guī)模是T（n）= 100n，時(shí)間復(fù)雜度是O(n)
算法B的相對時(shí)間規(guī)模是T（n）= 5n^2，時(shí)間復(fù)雜度是O(n^2)
算法A運(yùn)行在小灰家里的老舊電腦上，算法B運(yùn)行在某臺(tái)超級(jí)計(jì)算機(jī)上，運(yùn)行速度是老舊電腦的100倍。
那么，隨著輸入規(guī)模 n 的增長，兩種算法誰運(yùn)行更快呢？
從表格中可以看出，當(dāng)n的值很小的時(shí)候，算法A的運(yùn)行用時(shí)要遠(yuǎn)大于算法B；當(dāng)n的值達(dá)到1000左右，算法A和算法B的運(yùn)行時(shí)間已經(jīng)接近；當(dāng)n的值越來越大，達(dá)到十萬、百萬時(shí)，算法A的優(yōu)勢開始顯現(xiàn)，算法B則越來越慢，差距越來越明顯。
這就是不同時(shí)間復(fù)雜度帶來的差距。
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的一套图 搞懂“时间复杂度”（转载）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
- 上一篇： GIS中的拓扑关系和ArcGIS中的拓扑
- 下一篇： NP-Hard问题及组合最优化问题