近世代數--環同態--環同態基本定理

• 環同態基本定理

博主是初學近世代數（群環域），本意是想整理一些較難理解的定理、算法，加深記憶也方便日后查找；如果有錯，歡迎指正。
我整理成一個系列：近世代數，方便檢索。

環同態跟群同態類似。

有一些概念和簡單性質。

• 同態映射homorphism：

  設$R$和$R^{\prime }$是兩個環，$\phi$是集合$R$到$R^{\prime }$的映射，如果有$?a,b\in R$，有$\phi (a+b)=\phi (a)+\phi (b),\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)$，則稱$\phi$是環$R$到環$R^{\prime }$的一個同態映射，簡稱同態。

• 單同態monomorphism：$\phi$是單映射

• 滿同態epimorphism：$\phi$是滿映射

• 同構isomorphism：$\phi$是單同態，又是滿同態

• 單位元映射：$R$和$R^{\prime }$都是有單位元的環，$e$和$e^{\prime }$分別是單位元，$\phi$是$R$到$R^{\prime }$的環同態。那么

  • 如果$\phi$是滿同態，則$\phi (e)=e^{\prime }$

    $$\begin{gathered} ?a^{\prime }\in R^{\prime },?a,\phi (a)=a^{\prime }, \\ \phi (e)a^{\prime }=\phi (e)\phi (a)=\phi (ea)=\phi (a)=a^{\prime }, \\ {a}^{\prime }\phi (e)=\phi (a)\phi (e)=\phi (ae)=\phi (a)=a^{\prime } \end{gathered}$$

  • 如果$R$是無零因子環，則$\phi (e)=e^{\prime }$

    $R$無零因子$\to$左右消去律成立
    令$$\begin{gathered} r^{\prime }=\phi (e), \\ {r}^{\prime }\phi (e)=\phi (e)\phi (e)=\phi (e)=r^{\prime }=r^{\prime }{e}^{\prime } \\ \to \phi (e)=e^{\prime } \end{gathered}$$

  • 如果$\phi (e)=e^{\prime }$，則對$R$中任一可逆元$u,\phi (u)$是$R^{\prime }$的單位，且$\phi (u{)}^{?1}=\phi (u^{?1})$

    $\phi (u^{?1})?\phi (u)=\phi (u^{?1}u)=\phi (e)=e^{\prime }$
    $\phi (u)?\phi (u^{?1})=\phi (u{u}^{?1})=\phi (e)=e^{\prime }$

• 同態核：設$\phi ：R\to R^{\prime }$，集合$K=\{a\in R|\phi (a)=0\}$為同態$\phi$的核，記作$Ker\phi$

• 同態核是理想$\phi ?R$：通過定義易證。

環同態基本定理

設$\phi ：R\to R^{\prime }$，是滿同態，則有環同構$\bar{\phi }:R/Ker\phi ?R^{\prime }$

證明：

• 映射：$\bar{a}=\bar{b}\to \bar{\phi }(\bar{a})=\bar{\phi }(\bar{b})$

  $\bar{\phi }:R/K\to R^{\prime },\bar{\phi }(\bar{a})=\phi (a)$
  當$$\begin{gathered} \bar{a}=\bar{b}, \\ \to a?b\in K \\ \to \phi (a?b)=0 \\ \to \phi (a)=\phi (b) \\ \to \bar{\phi }(\bar{a})=\phi (a)=\phi (b)=\bar{\phi }(\bar{b}) \end{gathered}$$

• 同態：

  $$\begin{gathered} ?\bar{a},\bar{b}\in R/K, \\ \bar{\phi }(\bar{a}+\bar{b})=\bar{\phi }(\overline{a+b})=\phi (a+b)=\phi (a)+\phi (b)=\bar{\phi }(\bar{a})+\bar{\phi }(\bar{b}) \\ \bar{\phi }(\bar{a}\bar{b})=\bar{\phi }(\overline{ab})=\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)=\bar{\phi }(\bar{a})\bar{\phi }(\bar{b}) \end{gathered}$$

• 滿同態：

  $?a^{\prime }\in R^{\prime },\phi$是滿同態，$$\begin{gathered} ?a\in R,\phi (a)=a^{\prime }, \\ ?\bar{a}\in R/K, \end{gathered}$$使得$\bar{\phi }(\bar{a})=\phi (a)=a^{\prime },$
  所以$\bar{\phi }$是滿同態

• 單同態：反證$\bar{\phi }(\bar{a})=\bar{\phi }(\bar{b})\to \bar{a}=\bar{b}$

  $$\begin{gathered} \bar{\phi }(\bar{a})=\bar{\phi }(\bar{b}) \\ \to \phi (a)=\phi (b) \\ \to \phi (a)?\phi (b)=0 \\ \to \phi (a?b)=0 \\ \to a?b\in Ker\phi \\ \to \bar{a}=\bar{b} \end{gathered}$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的近世代数--环同态--环同态基本定理的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。