椭圆曲线加密算法ECC
目錄
ECC加密算法
一、相關數學基礎
二、ECC安全性原理
三、算法詳細流程
四、特點及安全性
推薦：
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ECC加密算法
?橢圓曲線加密（ECC，Elliptic Curves Cryptography）也屬于非對稱加密公鑰算法，與主流的RSA算法相比，ECC算法可以使用較短的密鑰達到相同的安全程度。ECC是建立在基于橢圓曲線的離散對數問題上的密碼體制，給定橢圓曲線上的一個點G，并選取一個整數k，求解K=kG很容易(注意根據kG求解出來的K也是橢圓曲線上的一個點)；反過來，在橢圓曲線上給定兩個點K和G，若使K=kG，求整數k是一個難題。ECC就是建立在此數學難題之上,這一數學難題稱為橢圓曲線離散對數問題。近年來，ECC逐步進入實際應用，如國家密碼管理局頒布的SM2算法就是基于ECC算法的。
一、相關數學基礎
有限域、群、交換群、離散對數、橢圓曲線加密
二、ECC安全性原理
K=kG，其中K,G為Ep（a,b）上的點，k為小于n的整數，n是點G的階，給定k和G，計算K容易，但是給定K和G，求k就很難了！
因此：K為公鑰，k為私鑰，G為基點。
三、算法詳細流程
B傳送明文M給A：僅為例：也可以構成其他橢圓曲線密碼。
參數：
- A選定一條橢圓曲線Ep（a,b），并取曲線上一點作為基點G
- A選擇一個私鑰k，并生成公鑰K=kG
- A將Ep（a,b）和k，G發送給B
加密：
- B收到后將明文編碼到Ep（a,b）上一點M，并產生一個隨機數r
- B計算點C1=M+rK，C2=rG
- B將C1，C2傳給A
解密：
- A計算C1-kC2=M+rkG-krG=M
- A對M解碼得到明文
在這個加密通信中，如果有一個偷窺者H ，他只能看到Ep(a,b)、K、G、C1、C2，而通過K、G 求k 或通過C2、G求r 都是相對困難的，因此，H無法得到A、B間傳送的明文信息。
1、參數生成
通常將Fp上的一條橢圓曲線描述為T=(p,a,b,G,n,h)，p、a、b確定一條橢圓曲線（p為質數，(mod p)運算）G為基點，n為點G的階，h是橢圓曲線上所有點的個數m與n相除的商的整數部分。
- 選擇一個素數ｐ，從而確定有限域GF（ｐ）；
- 選擇元素ａ，ｂ屬于GF（ｐ），從而確定一條GF（ｐ）上的橢圓曲線；
- 選擇一個大素數ｎ，并確定一個階為ｎ的基點；（基礎參數p,a,b,G,n,h是公開的）
- 隨機的選擇一個整數ｄ屬于［１,ｎ－１］，作為私鑰；
- 根據Q=ｄＧ；計算出用戶的公鑰Q；
參量選擇要求：
- p越大安全性越好，但會導致計算速度變慢；
- 200位左右可滿足一般安全要求；
- n應為質數 h≤4；p≠n×h ；pt≠1(mod n) (1≤t＜20)
2、加解密過程
實際應用中，設要加密的明文數據ｍ，０＜＝ｍ＜ｎ，用戶A要將數據ｍ發送給用戶B：
加密：
解密：
3、簽名、驗簽流程
簽名：
- A選定一條橢圓曲線Ep（a，b），并取曲線上一點作為基點G
- A選擇一個私鑰k，并生成公鑰K=kG
- A產生一個隨機數r，計算R(x,y)=rG
- A計算Hash=SHA(M)，M‘=M(modp)
- A計算S=（Hash+M'k）/r(modp)
驗簽：
- B獲得S和M'，Ep(a,b)，K，R(x,y)
- B計算Hash=SHA(M)，M'=M(modp)
- B計算R'=（Hash*G+M'*K）/S=(Hash*G+M'*kG)*r/(Hash+M'k)=rG=R（x,y），若R'=R，則驗簽成功。
以上加解密和簽名驗簽流程只是一個例子，具體應用時可以利用K=kG這一特性變幻出多種加解密方式。
四、特點及安全性
優點：ECC和其他幾種公鑰系統相比，其抗攻擊性具有絕對的優勢，ECC160位的密鑰相當于RSA 、DSA1024位密鑰提供的保密強度，210位ECC則與2048位RSA、DSA具有相同的安全強度；計算量較小，處理速度更快；ECC的密鑰尺寸和系統參數與RSA、DSA相比要小得多存儲空間和傳輸帶寬占用較少。
缺點：設計復雜，實現困難；如果序列號設計過短，那么安全性并沒有想象中的完善。
應用：目前我國居民二代身份證正在使用 256 位的橢圓曲線密碼；虛擬貨幣比特幣也選擇ECC作為加密算法；IC卡、電子商務、Web服務器、移動電話和便攜終端、航空航天領域。
注：
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總結
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