整數部分

• 前言
• 一、最大取整函數
• 二、丟番圖逼近
• 三、和與積
• 四.整除性
• 五.整數的表示法和運算
• 五.素數和最大公因子
• 六.歐幾里得算法
• 七.算術基本定理
• 八.因子分解法和費馬數
• 九.線性丟番圖方程
• 十.同余
• 十一.線性同與方程
• 十二.同余的應用
• 十三.特殊的同余式
• 十三.完全數
• 十四.某些非線性丟番圖方程
• • 畢達哥斯拉方程組
  • 平方和
  • 佩爾方程

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前言

本篇博客只是給出一些算法中常用的公式，公式的證明有興趣的可以百度上搜也是可以的。
在最一般的意義下、數論研究各種數集合的性質.在本章中我們討論某些特別重要的數的集合，包括整數、有理數和代數數集合.我們將簡單介紹用有理數逼近實數的概念，也介紹序列(特別是整數序列)的概念，包括古希臘人所研究的一些垛積數序列.一個常見問題是如何由一些初始項來判定一個特別的整數序列.我們將簡單討論一下如何解決這種問題。

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一、最大取整函數

1.定義
實數x的最大整數記為[ x ] ,是小于或等于x的最大整數。一般在計算機語言中的向下取整函數 floor（）

2.定理1
如果n是整數，則對于任意實數x，都有
$$[x+n]=[x]+n.$$

3.定理2
實數x的分數部分 記為{x} ，是 x與[x]的差即
$$x=x?[x].$$
4.定理3
當x為實數時
$$[x]+[x+1/2]=[2x].$$
5.定理4
所有實數x和y, 都有
$$[x+y]>=[x]+[y].$$
6.定理5
當 x 和y為實數時,
$$[2x]+[2y]>=[x]+[y]+[x+y].$$
7.定理6
當 x 和y為實數時,
$$[xy]>=[x]?[y]$$
8.定理7
當x為實數時，
$$?[?x]是大于或等于x的最大整數。$$
9.定理8

$$[x+1/2]是最接近x的整數.$$
10.定理9
如果 m, n是正整數，則當x為實數時，
$$[(x+n)/m]=[([x]+n)/m]$$

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二、丟番圖逼近

1.定理1
鴿籠原理
如果把k+1個或更多的的物品放入k個盒子中，那么至少有一個盒子中有兩個或更多的物品。

2.定理2
狄利克雷逼近原理
如果 x 是一個實數 ，n是一個正整數，則存在整數a和b，1<=a<=n.使得
$$|ax?b|<1/n$$

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三、和與積

1.等比數列的求和公式
公比q 首項a，$$Sum=\frac{a{q}^{n+1}?a}{q?1}$$

2.三角數，t1,t2,…tk 。是一個序列。tk，為第j行有j個點的k行三角序列中點的個數。
tn = （n+1)*n/2> $$t_n=\frac{n(n+1)}{2}$$
2.把兩個三角陣列組合在一起，其中一個是n行另一個是n-1行，形成一個正方形陣列（如圖，n=4）。

$$t_{n?1}+t_n=n^2$$. 這里 t n 是第n個三角形。

3.把兩個三角形陣列·組合在一起，每個都是n行，形成一個有 n *n+1 個點的矩形陣列。
$$t_n=\frac{n(n+1）}{2}$$

4. $$\sum _{i=1}^n{j}^2=1^2+2^2+3^2+....+n^2=\frac{n?(n+1)?(2n+1)}{6}$$
5.$$\sum _{i=1}^n{j}^3=1^3+2^3+...+n^3=[\frac{n?(n+1)}{2}{]}^2.$$
6.$$\sum _{i=1}^{n}j?(j+1)=1?2+2?3+...+n?(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}.$$
7.$$1?1!+2?2!+...+n?n!=(n+1)!?1.$$
8.$$\sum _{i=1}^n(?1{)}^{j?1}{j}^2=1^2?2^2+3^2?....+(?1{)}^{n?1}{n}^2=(?1{)}^{n?1}\frac{n(n+1}{2}$$
9.七巧板問題就是把每一塊按照正確的方法組合在一起。
**結論：**解決n快七巧板問題恰好需要移動n-1步。
10.對所有的正整數n遞歸定義如下函數：f(1)=1,f(2)=5,
且對n>2,f(n+1) =f(n) +2f(n-1),有
$$f(n)=2^n+(?1{)}^n$$
11.斐波那契數 的公式求法
$$a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}b=\frac{1?\sqrt{5}}{2}$$
$$f_n=\frac{1}{\sqrt{5}}(a^n?b^n)$$

四.整除性

1.定義：如果a和b為整數且a $=$ b，我們說 a整除b是指存在整數c使得 b=ac。

2.定理1.8：如果 a|b，b|c ，則 a|c。

3.定義1.9：如果 a，b，m，n為整數，且
c|a，c|b，則
$$c|(ma+nb)$$

4.定義1.10（帶余除法）：如果a和b是整數且b>0 ，則存在唯一的整數q和r，使得
$$a=bq+r0<=r<b$$
在該公式中 我們稱 q為商，r為余數。我們還稱a為被除數，b為除數。
5.性質1：如果a，b，c，d是整數，a和c非零，且滿足
a|b，c|d ，則 ac|bd。
6.結論如果a為整數，則 3 整數 $$a^3?a$$
7.結論：

如果兩個形如 4k+1 的整數之積仍讓是這個形式；

如果兩個形如 6k+5 的整數之積轉化為 6k+1；

而兩個形如 4k+3 的整數之積則轉化為 4k+1；

8.結論：

每個奇數的平方都形如 8k+1；

每個奇數的四次方都形如 16k+1；

9.結論：

任意三個連續的整數的積都能被6整除。

任意正整數 $$n,n^5?n可以被5整除$$

三個連續的整數的立方和能被9整除。

五.整數的表示法和運算

(該章節內容會在后面進行補充）
1. 定理2.1：令b是正整數，b>1,則每個正整數n都可以被唯一的寫成如下形式
$$n=a_k{b}^k+a_{k?1}{b}^{k?1}+...+a_{1}b+a_0$$

五.素數和最大公因子

1. 定理3.2：
如果n是一個合數，那么n一定有一個不超過$$\sqrt{n}$$的素因子。
2. 定義： 函數 $\pi (x)$表示不超過x的素數的個數。
$\pi (x)$可以用 $$\frac{x}{log(x)}來近似表示$$
3. 結論：
$$具有n^3+1形式的整數都不是素數，除了2.$$
4. 定義：
兩個不同時為零的整數a，b的最大公因子就是指能同時整除a和b的最大的整數。記為 （a，b）
5. 定理3.6：
如果兩個整數a，b，且（a，b）=d，那么
$$(a/d,b/d)==1$$
6. 定義：
如果兩個整數a，b的最大公因子（a，b）==1，則稱這兩個數互素的。
7. 定理3.7：令a，b，c是整數，那么
$$(a+cb,b)=(a,b)$$
8. 定理：如果整數a，b互素，那么存在整數m，n，使得 ma+nb = 1 .
9. 結論：如果a，b是不全為零的偶數，那么
$$(a,b)=(a/2,b)$$
10. 結論：如果非零整數a，b，c互素，那么
$$(a,bc)=(a,b)(a,c)$$
11. 結論：如果k是整數，那么
$$整數6k?1,6k+1,6k+2,6k+3,6k+5兩兩互素$$
12. 結論：如果k是整數，那么
$$3k+2和5k+3互素$$
13. 結論：對于所有的整數
$$a，8a+3和5a+2互素$$

六.歐幾里得算法

定理：如果 e和d是整數且e = dq+r，其中q，r是整數，那么
$$(e,d)=(d,r)$$

定理：令 a，b是正整數，那么
$$(a,b)=s_{n}a+t_{n}b,其中s_n和t_n$$是下面定義的遞歸序列的第n項。
$$s_0=1,t_0=0,$$
$$s_1=0,t1=1,$$則
$$s_j=s_{j?2}?q_{j?1}{s}_{j?1}{t}_j=t_{j?2}?q_{j?1}{t}_{j?1}$$其中j=1,2…，n,
$$q_j是歐幾里得算法中每一步的商。$$

結論：
$$（a,b)=?\begin{array}{ll}a& 如果a=b\\ 2(a/2,b/2)& 如果a，b都是偶數\\ (a/2,b)& 如果a是偶數，b是奇數\\ (a?b,b)& 如果a，b都是偶數，且a>b\end{array}$$

七.算術基本定理

1. 定理3.15（算術基本定理）：每個大于1的正整數都可以被唯一地寫成素數的乘積，在乘積中的素因子按照非降序排列。
2. 引理3.4：如果a，b和c是正整數，滿足（a，b） =1且 a|bc ,則 a|c .
3. 引理3.6：如果x和y為實數，則
$$max(x,y)+min(x,y)=x+y.$$
4. 定理3.16：如果a和b是正整數，則
$$[a,b]=ab/(a,b),其中[a,b]和(a,b)分別是a和b的最小公倍數和最大公因子$$
5. 定理：設 m和n是互素的正整數，如果
$$d_1和d_2分別是m和n的正因子，則d=d_1{d}_2是mn的正因子。$$
6. 結論：一個整數n的素因子分解中所有的冪次都是偶數當且僅當n是一個完全平方數。
7. 結論：$$如果p^a||m,p^b||n,則p^{a+b}|mn$$
8. 結論：
$$a^3|b^3,則a|b$$
9. 結論：$$如果a和b為正整數，則(a,b)=(a+b,[a,b])$$

10. 結論：$$[a,b,c]=\frac{abc(a,b,c)}{(a,b)(a,c)(b,c)}$$
11. 結論：$$如果a和b為正整數，則(a,b)=(a+b,[a,b])$$

八.因子分解法和費馬數

1. 引理：如果n是一個正的奇數，那么n分解為兩個正整數的積和表示成兩個平方數的差是一一對應的。
$$n=ab=s^2?t^2$$
$$s=(a+b)/2,t=(a?b)/2$$
2. 費馬數：
$$整數F_n=2^{2^n}+1被稱為費馬數,n>=2時，最后一位都是7$$
3. 定理3.20：
$$費馬數的每個素因子都形如2^{n+2}k+1$$
4. 等式：
$$4x^4+1=(2x^2+2x+1)(2x^2?2x+1)$$ .

九.線性丟番圖方程

定理3.23：設a，b是整數且 d = （a,b). 如果 d 不能整除c 那么方程 ax + by = c 沒有整數解 。如果 d|c ，那么有無窮解。另外，如果 x = x0 , y = y0 是方程的一個特解，那么所有的解可以表示為
$$x=x_0+(b/d)n,y=y_0?(a/d)n,其中n是整數。$$

十.同余

定義：
$$設m是正整數，若a和b是正整數，且m|（a?b),則稱a和b模同余$$
$$記作a\equiv b(modm)$$

定理4.1：若 a 和 b 是整數 ，則
$$a\equiv b(modm)當且僅當存在整數k,使得a=b+km$$

定理4.3：若 a,b,c和m是整數，m>0
$$a\equiv b(modm)則$$
$$(1)a+c=b+c(modm)$$
$$a?c=b?c(modm)$$
$$ac=bc(modm)$$

定理4.4：若a,b,c和m是整數,m>0,d = (c,m),且有
$$ac\equiv bc(modm),則$$
$$a\equiv b(modm/d),當(c,m)=1時，a\equiv b(modm)$$

定理4.7：若a,b,k和m是整數,k>0,m>0,且有
$$a\equiv b(modm),則$$
$$a^k\equiv b^k(modm)$$

結論：若s是偶數，則
$$a^2\equiv 0(mod4),奇數則是a^2\equiv 1(mod4)$$

結論：
$$1^3+2^3+...+(n?1{)}^3\equiv 0(modm)$$

十一.線性同與方程

定義：x是未知整數，形如
$$ax\equiv b(modm)稱為一元線性同余方程$$

定理4.10：設a,b和m 是整數，m>0,(a,m) = d 若 d不等于b，則
$$ax\equiv b(modm)無解，若d|b,z則ax\equiv b(modm)恰有d個模m不同余的解$$

推論：若a和m>0互素，且b是整數，則線性同余方程
$$ax\equiv b(modm)恰有(a,m)=1個模m不同余的解。$$

模的逆：給定整數a，有(a,m) = 1，稱
$$ax\equiv 1(modm)的一個解為a模m的逆$$

定理4.11：設p是素數。正整數a是自身模p的逆，當且僅當
$$a\equiv 1(modp)或a\equiv ?1(modp)$$

中國剩余定理：設m1,m2,…,mr 是兩兩互素的正整數，則同余方程組
$$\begin{gathered} x\equiv a_1(mod{m}_1), \\ x\equiv a_2(mod{m}_2), \\ ... \\ x\equiv a_r(mod{m}_r), \\ 有模M=m_1{m}_2...m_r的唯一解。 \end{gathered}$$

引理4.2：若a和b是正整數，則
$$2^a?1模2^b?1的最小正剩余是2^r?1,其中r是a模b的最小正剩余。$$

引理4.3：若a和b是正整數，則
$$2^a?1和2^b?1的最大公約數是2\dots \dots （a,b)?1$$

定理4.13：
$$正整數2^a?1和2^b?1是互素的，當且僅當a與b是互素的。$$

十二.同余的應用

被2的冪整除檢驗：要判斷一個整數n是否被2整除，只需檢驗它的最后一位數字能否被2整除。

被5的冪整除檢驗：要判斷一個整數n是否被5整除，只需檢驗它的最后一位數字能否被5整除。

被3和9的冪整除檢驗：只需要檢驗n的各個位數之和是否能被3或9整除。

被11的冪整除檢驗：是對n的各位數字交替相加減，所得到的整數
$$a_0?a_1+a_2?...+(?1{)}^k{a}_k能被11整除$$

被7、11、13的冪整除檢驗 結論：從整數的最右端開始連續的三位數字組成一組，再按照原順序構成新的三位數，最后將他們連續的交替相加減而得到的整數。從而只需檢驗交替相減后的結果是否能被7,11，或13整除。

十三.特殊的同余式

威爾遜定理：
$$若p是素數，則(p?1)!\equiv ?1(modp)$$

定理6.2：
$$設n是正整數且n\ge 2,若(n?1)!\equiv ?1(modn),則n是素數$$

費馬小定理：
$$設p是一個素數，a是一個正整數且p?a,則a^{p?1}\equiv (modp)$$

定理6.4：
$$設p是素數且a是一個正整數，則a^p\equiv a(modp)$$

定理6.5：
$$設p是素數,a是一個正整數且p?a,那么a^{p?2}是a模p的逆$$

歐拉$?$函數：
$$定義為不超過n且與n互素的正整數的個數$$

定義：
KaTeX parse error: Can't use function '$' in math mode at position 12: 模n的既約剩余系是由$?\phi$個整數構成的集合，集…

歐拉定理：設m是一個正整數，
$$a是一個整數且(a,m)=1,那么a^{?(m)}\equiv 1(modm)$$

十三.完全數

兩個函數：
$$\tau (n)：n的正因數個數，\sigma (n)：n的正因數之和$$

完全數定義：
$$如果n是一個正整數且\sigma (n)=2n，那么n稱為完全數$$

定理7.10：正整數m是一個偶完全數當且僅當
$$n=2^{m?1}(2^m?1),其中m\ge 2是使得2^m?1是一個素數的整數$$

定理7.11：
$$如果m是一個正整數且2^m?1是一個素數,則m必是素數$$

十四.某些非線性丟番圖方程

丟番圖方程：如果對一個方程只求解它的整數（或有理數）解，我們便稱該方程為丟番圖方程。

畢達哥斯拉方程組

定義：
$$\begin{gathered} 滿足x^2+y^2=z^2 \\ 的正整數三元組被稱為畢達哥斯拉三元組 \end{gathered}$$

定義：
$$一個畢達哥斯拉三元組x,y,z稱為本原的，如果(x,y,z)=1$$

引理：如果x,y,z為一個本原畢達哥斯拉三元組，則
$$(x,y)=(y,z)=(x,z)=1$$

引理 ：若r，s，t為正整數，且(r,s)=1,rs=$t^2$,則
$$存在整數n,m，使得r=m^2,s=n^2$$

平方和

定理13.4：如果m和n都可以表示為兩個整數的平方和，那么mn同樣也可以表示為兩個整數的平方和。

引理13.4：如果p是一個4m + 1 形式的素數，其中m是整數，那么也存在整數x和y，使得
$$x^2+y^2=kp對于p的正整數k成立。$$

定理13.6：如果正整數m和n都可以表示成四個整數的平方和，那么mn也可以。

定理13.7：正整數n可以表示成兩個整數的平方和，當且僅當n的每一個4k + 3 形式的素因子在n的素冪分解形式中為偶次方。

定理13.5 ：如果p是一個素數，那么就存在一個整數k，k<p使得
$$\begin{gathered} kp=x^2+y^2+z^2+w^2 \\ 存在正整數解。 \end{gathered}$$

定理13.8 ：如果p是一個素數，那么方程
$$\begin{gathered} p=x^2+y^2+z^2+w^2 \\ 存在正整數解。 \end{gathered}$$

佩爾方程

后續會跟新。

.博主碼字不易，希望對大家有幫助！

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数论基础-小白学算法必学（一天一夜的成果）万字的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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