最大獨立集問題:

在圖G中選取盡可能多的點，使得任意兩個點之間沒有連邊。

結論：最大獨立集的點數 = 總點數 - 二分圖最大匹配

證明：

假設最大獨立集的點數為|U|，二分圖最大匹配的匹配數為|M|，最大匹配中所有頂點集合為EM

先證明 |U|≤|V|-|M|

M中任意一條邊的兩個端點是連接的，所有對于M中的邊必有一個端點不在|U|集合中，所以|M|≤|V|-|U|

再證明|U|≥|V|-|M|

首先我們知道一定有|U|≥|V|-|EM|，即將最大匹配的點刪除之后，剩下的點一定都不相連。
接下來我們考慮能否將M集合中的一個端點放入U中：
假設(x,y)屬于M，存在(a,x),(b,y)，且a,b都在U中，則會出現兩種情況：

• 如果(a,b)連接，則有一個更大的匹配存在，矛盾
• 如果(a,b)不連接，a->x->y->b有一個新的增廣路，因此有一個更大的匹配，矛盾
  故有a,b兩點中至多只有1個點屬于U，則我們總是可以選取x,y中一個點放入集合U
  所以|U|≥|V|-|EM|+|M|=|V|-|M|
  
  綜上有|U|=|V|-|M|
  

  
  

  最小點覆蓋問題:
  

  在圖G中選取盡可能少的點，使得圖中每一條邊至少有一個端點被選中。即用最少的點去覆蓋所有的邊。

  結論：最小點覆蓋的點數 = 二分圖最大匹配
  

  其實最小點覆蓋的點數=二分圖最大匹配這個結論可以很直觀地感受，假設最小點集合里面的一個頂點為V，那么與V相鄰的邊都能夠被它給覆蓋掉，那么與這條邊對應的另一端頂點就不需要考慮了，并且在最大匹配的點集合中，必定有一半的點所關連的邊不止一條。所以可以很直觀地得到這個結論。

  
  

  
  

  #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> using namespace std;const int maxn = 1001; int n,m,belong[maxn]; bool vis[maxn],line[maxn][maxn];bool find(int x) {for(int i = 1; i <= n; i++){if(line[x][i] == true && vis[i] == false){vis[i] = true;if(belong[i] == 0 || find(belong[i]) == true){belong[i] = x;return true;}}}return false; }int main() { while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){for(int i = 1; i <= m; i++){int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);line[u][v] = line[v][u] = true;}int ans = 0;for(int i = 1; i <= n; i++){memset(vis,false,sizeof(vis));if(find(i)) ans++;}printf("%d\n%d\n",ans/2,n-ans/2);}return 0; }
  

總結

以上是生活随笔為你收集整理的hihocoder 1127 : 二分图三·二分图最小点覆盖和最大独立集的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。