【一些評論】

三篇都看過，這是第一次發表評論。

孟巖關于矩陣、變換、坐標系的闡述，有些地方確實很直觀。

不過這種直觀有某些局限性。就是說在某一個應用方面這樣來理解和思考會很直觀。普遍看來一些對概念的理解不具備“普適性”。

不過，課本上的數學用于都很抽象很枯燥，也正是這種抽象的語言，才精準的描述了人類對數學某些局部理解的精微。這些描述的語言可能可以有更完善的改進，就像編寫的程序有些地方的語句可以改得更巧妙更堅固一樣。孟巖對矩陣理解的這種描述的改進是出于處理計算機圖形學當中要用到各種變換而進行深入思考的結果。總的說來有閃光的地方。也有使用起來不是那么靈光的詞語。

比如說矩陣就是運動。這樣理解相對有些狹隘。

不過總體看來還是瑕不掩瑜的。

數學書上的語言是經過千錘百煉的。也容許我們每個人按自己的理解方式來理解。那么數學書上這種描述就是一個好的語言。它言辭很單調枯燥，可是道理是對的。那么就看你怎樣對它加工，使它明確、使它華麗、使它完美。使它更易于理解和使用。這個過程也就是一個人學懂了數學的過程。

綜述說完了。

時間有限，說點我的理解作為交流。

向量，不是線代一來就給的是n維的嗎？

我們一般可以最多思考出一個3維向量在3維空間里頭有多長，指向那個方向。所以n維的一來，頭都大了。思考不出來。很抽象。

其實先輩們老聰明了。你n維不是很抽象嗎。我不是一下子想象不出來你一個n維向量在n維空間是個什么模樣嗎？咱直接把每一維的長度挨個兒排成一個柱狀圖不就可以準確的想象出它的形象了嗎。像一根根長短不一的石柱樹立在平地上排成一排。第一根石柱高3米，那么這個向量的第1維就是3 。第二根石柱高8米，向量的第2維就是8，以此類推。這樣就抓住了n維向量的本質：我可以準確的描述它——n維向量。

好了，兩個n維向量就是兩幅柱狀圖。m個n維向量就是m幅柱狀圖。

當然，課本上空間太小，不適合畫很多圖。所以就直接寫一排數字分別代表每一維柱子的高度。就是我們常看見的：(3 , 8 , 2 , -1 , 5)這種形式。它是一個5維向量，而且用柱狀圖很容易想出它的形象。

用“柱狀圖”來思考向量的運算還很方便。

下一步，就是定義向量之間的運算：

兩個柱狀圖

( 3 , 8 , 2 ,-1 , 5 )

( 1 ,-3 , 2 , 4 , 1 )

一上一下每一維都對齊。每個分量分別相加，又得到一個柱狀圖。

( 4 , 5 , 4 , 3 , 6 )

這叫兩個向量的“和”。

兩個柱狀圖

( 3 , 2 , 2 ,-1 , 5 )

( 1 ,-3 , 2 , 4 , 1 )

一上一下每一維都對齊。每個分量分別相乘，又得到一個柱狀圖。

( 3 ,-6 , 4 ,-4 , 5 )

然后再吧所有分量都疊加起來。得到一個數：2 。這叫兩個向量的“內積”。

一個柱狀圖

( 3 , 1 , 2 ,-1 , 5 )

每一維都乘上相同的一個數 3。又得到一個柱狀圖。

( 9 , 3 , 6 ,-3 ,15 )

這叫向量的數乘。這個運算在向量空間當中稱作外作用，因為在另外一個數域當中取了一個3過來。上面兩個運算都是內作用。

然后根據內積的概念就可以定義向量的范數和判別兩個向量是否正交。以及向量之間的相關性等等。

把向量的每個分量的數域擴充一下，分量為復數的可以定義復向量。

分量為m維向量的可以定義維矩陣。

向量的分量之間不是1維、2維、3維這么按自然數排布下去的。比如，來個第1.2維、第2.6321維等可以擴充到“分維”，這個按下不表。

向量的分量之間按實數關系排布的，就是一元函數。所以孟巖說過，一般的一元函數都是無窮維的向量。而且這個向量也滿足上面3中運算規則。比如兩個函數疊加——向量的加法，一個數乘上一個函數——向量的數乘，兩個函數在相同的定義域內積分——向量的內積（孟巖所說“一個對象可以表達為無窮多個合理選擇的對象的線性和。”可以在這里和下面的卷積處找到印證）。

如果再給向量定義兩個運算方法叫做移位和反折。移位，就是柱狀圖的柱子一起往左或者一起往右移動n個單元格（注意，這里和一元函數那里其實隱含的添加了一個概念，就是柱子們之間現在有序了，不是單純向量里面的不注重順序的柱子），那么就可以引申出更豐富的內涵。比如移位空出來的直接填0還是循環移位等等。當然有多種方式就靠我們自己去定義，最后檢驗一下如果能夠“自圓其說”就是好理論。

反折，就是以當中某一個分量的位置為中心。或者以某兩個分量之間的位置維中心。一排柱子以這個中心轉180度。

有了移位和反折這種運算。那么兩個函數就多了一種有用的運算：卷積。信號系統和數字信號處理里面用得很多。這個按下不表。

如果柱狀圖的每一個柱子的高度都不是常數，都是變化的，并且都是隨著某一個變量變化的，那么可以說整個柱狀圖都是隨著這個變量變化的。那么這個柱狀圖就不是“常”柱狀圖，而是“變”柱狀圖。就是說這個n維的矢量不是“常矢量”，而是“變矢量”，簡稱“變矢”。說白了就是你給我一個變量，我還你n個函數值。這就打破了課本上之前所學的函數只能是一一映射（一射一）或多射一（多元函數有多個自變量，但每次給定多個變量時，只能得到一個函數值）。從而實現了一射多。你給定一個自變量，我第一個分量是一個值，第二個分量又是一個值，第三個……；說白了一個矢量函數是由n個一射一的函數組成的，它們自變量相同，得到的函數值不一定相同（呵呵，這也能叫一射多）。

演繹一下：如果柱狀圖的每根柱子都是隨著相同的多個自變量變化的。那么就是多射多了。

多元單值函數（多射一），自變量就可以看作是一個向量。這種函數就可以看作是在一個向量空間當中取一個向量來，就映射出一個單純的數值（數量）。向量空間的內積運算就是一個例子。

多射多的函數，就可以看作是取一個m維向量來，就映射出一個n維向量的值。——這就是向量的“變換”。或者叫做不同的向量空間之間的“映射”。

更進一步，如果這個“變換”是線性變換。

并且給定了定義域（原象空間，也就是取m維向量的地方）和值域（象空間，也就是得到的n維向量所在的集合）的基之后；再說一遍：如果給定了這種線性變換的定義域空間的基和值域空間的基之后，這個變換就可以用一個矩陣來表示。就是孟巖所說的Ma = b。寫成Mx = y。x是m維的。y是n維的。

再把一元函數當中的導數的概念拉進來。一個一元函數隨著自變量簡單有序的變化（說白了就是遞增或遞減）從而函數值產生了變化（即使不變也再把一元函數當中的導數的概念拉進來。一個一元函數隨著自變量簡單有序的變化（說白了就是遞增或遞減）從而函數值產生了變化（即使不變也是一種變化，就跟哲學當中靜止也是一種特殊的運動一樣）。把前后兩個函數值相減再除以自變量的變化量。然后再強調自變量的變化很小（就是去求極限）。就得到函數的導數。

同樣，一個變矢（一射多）隨著自己的一個自變量變化，也就能n個分量的變化。一求變化率的極限就是n個導函數。所以變矢的導數是矢量。

同樣，一個多射一的函數f(Z)，設Z是一個n維向量。隨著Z的一點小小的變化（即每個每個分量都有小小的變化，即使某些分量沒變化也是一種變化，就跟哲學當中靜止也是一種特殊的運動一樣），函數值也有變化。每個分量的變化量可能不相同。有的大有的小。函數值變化量只有一個。所以，函數值變化量針對每個分量的變化率是不同的。那么函數值針對n個分量的變化率就有n個。所以多元函數的全導數就是梯度。

好了，時間不早了，草草收尾。

歡迎指出謬誤。

最后盛贊孟巖兄！

[ccss01 發表于2007-12-03]

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很高興看到你承認你的文章是"粗糙放肆".

最好的矩陣概述是那位“東陽”同學老師的回答

矩陣是什么？

1. 矩陣只是一堆數，如果不對這堆數建立一些運算規則。

2. 矩陣是一列向量，如果每一列向量列舉了對同一個客觀事物的多個方面的觀察值。

3. 矩陣是一個圖像，它的每一的元素代表相對位置的像素值，

4. 矩陣是一個線形變換，它可以將一些向量變換為另一些向量。

所以要回答“矩陣是什么”，取決于你從什么角度去看它。

[當然東陽同學在轉述中用詞不是很準確...但是大意還是很清楚了.]

就好像"64"這個數是什么一樣,你可以看成十進制的64，也可以看成ASCII的"A"，也可以看成IA32的匯編的某個指令，可以看成其他系統的匯編指令.至于是什么,"取決于你從什么角度去看它"...

從應用角度上，矩陣就是工具。

至于是什么樣的工具，就要看你的應用了。根據應用，根據矩陣運算規則，建立矩陣。

例如：計算機3D圖形學中，建立旋轉矩陣時，我們不但要考慮到是要繞哪個軸旋轉，還要考慮到是用行向量還是列向量。

要下班了，不多說了......拜個早年。。。。

[xuanyuanhaobo 發表于2008-02-05 ]

1. 以前從來不在網上發表言論的我,今天好興奮特別注冊想說幾句,最近一直在學習線性代數,其實知道矩陣啊,行列式都有幾何意義的,天天想啊看啊,為什么呢,因為以后想用,工科的線性代數確實不怎么好,一大堆定義就不說什么意思,其他數學書大概也都這樣,所以中國絕大部分書差啊!只會行列式矩陣運算,你以后根本不能靈活運用,個人覺得更多的去關注他的物理意義吧,看了上面作者發的文章,真的理解了很多,雖然還是有些糊涂,不過第三篇多看幾遍也許就會明白,最近一直想一個問題,比如看見一個矩陣你可以把它想成n唯空間的一個線性變換在一組基下的矩陣,這個線性變換在另外一組基下也有一個矩陣,這兩個矩陣相似.所以通過特征值就會找到另外一組基,線性變化在這個基下盡量簡化,最簡單的可能就是對角矩陣了把.所以一個矩陣就對一個線性變換,可是我在想啊,兩個基的過渡矩陣又怎么理解呢?過渡矩陣也是矩陣啊.難道把一組基變到另外一個基嗎?頭都暈了.慢慢理解吧!也許老師說的把矩陣理解為坐標系后就可以理解過渡矩陣.以后好好看看畫畫..不過老師說的矩陣的行列式我最近找到一點東些可以理解,在解析幾何里面的混合積可以理解三唯行列式,矩陣不是有三行嗎?要是建立一個三個坐標的空間坐標系,然后把三唯矩陣每一行理解為坐標系下面的三個點,然后想像從原點到三個點有三個向量,有方向的箭頭,那么行列式就是這三個箭頭形成的一個體積的體積,因為向量混合積就是體積,所以自然可以把n行的那種想成n唯空間的n個點,也許行列式就是體積吧,有興趣的朋友我們討論哈矩陣,共同進步哈,我的qq317316685,我想學好矩陣

2. 在這個《理解矩陣》的系列里，我試圖用一種新的“啟發式”的方法來討論數學，這種方法不是一開始就要說絕對正確的話，不是以不犯錯誤為目的，而是以有益于讀者理解為目的，為了直覺性，我不惜一開始犯一些錯誤，比如給出一些數學概念的不那么嚴格、但是容易理解的定義，然后在后面的過程中不斷地修正這個定義，最后到達“正確”。你會看到，我在《理解矩陣（二）》中已經修正了矩陣的意義。還沒有完，在第三部分中我會再次修正其意義，以后可能還要再修正一次，才會達到讓任何人跳不出錯的地步。我當然可以一開始就給出一個絕對正確的定義，抄書就是了，最容易不過。但是直覺性就不存在了，讀者也就理解不了了。

同樣的，空間的定義也會在后面的系列中修正。事實上，把空間定義為容納運動的容器肯定是不嚴謹的，你說的度量空間不能容納運動，我還能找到一些不能容納運動的空間，比如概率論里有樣本空間，也不能容納運動。但是沒關系，現在先這樣說，對于習慣了三維空間的普通讀者來說容易理解，以后再進一步抽象，人家也就跟得上了。如果一上來就拿非常抽象的概念說事，你有信心讀者能明白么

？讀者不明白，就不愿意看，不愿意想，你寫得再偉光正，又有什么用呢？

當然，我應該在整個系列開始的時候說明這一點，免得別人看了一半就以為明白了，把半成品當成寶。這是我的疏忽，感謝你指出。

“啟發式”的方法來討論數學 精彩

3. 我覺得研究生期間有兩門數學課是必須要學的（必修的數值分析和概率論與數理統計之外）：一門是泛函分析，另外一門是矩陣論。

矩陣論的重要性工作時間長了就能慢慢體會到，但是大家一般對泛函分析不太了解，所以也就很難認識到其重要性了。事實上，泛函分析雖然很抽象，很難直接應用到工作當中去，但是可以幫助我們對很多問題有一個更本質的認識。舉兩個例子：說到采樣，大家的第一反應肯定是一個詞“2倍”（采樣定理）。學得比較扎實的，可能還會把為什么是2倍解釋清楚。但我對采樣的理解是：采樣實際上是在進行正交分解，采樣值不過是在一組正交基下分解的系數。如果原信號屬于該組正交基所張成的線性子空間，那么該信號就能無失真的恢復（滿足采樣定理）。學過信號處理的朋友，你知道這組正交基是什么嗎？:)第二個例子是關于為什么傅里葉變換在線性系統理論中如此重要？答案可能五花八門，但我認為我的理解是比較深入的：原因是傅里葉基是所有線性時不變算子的特征向量（和本文聯系起來了）。這句話解釋起來比較費工夫，但是傅里葉變換能和特征向量聯系起來，大家一定感覺很有趣吧。

4. （1）關于這里把向量說成“點”

我不明白你這里說的“向量和點的概念不同”是什么意思，概念當然是不同的，但是在向量空間中存在一一對應關系，而在我這篇文章的上下文中好像是可以混為一談的。而且，我在這里說的一個點，其實是抽象的點，或者說是一個對象，一個向量對象。我們說在概率論的樣本空間中的一個基本事件也是一個點，所以這里所說的“點”是一個抽象概念。

不過還是感謝你指出，這屬于我敘述中的不嚴格。有必要的話以后修改。

至于你說計算機圖形學使用射影變換，有道理，我對于計算機圖形學不了解，只是看了一些相關的數學基礎，犯錯誤是難免的。我看的那本教材是講CAD的，仿射變換就夠了。你說要用射影變換，當然是對的，在產生有景深的、有透視效果的真實感圖形，就要用到射影變換。不過，如果再往上說的話，如果要產生哈哈鏡效果，還需要使用拓撲變換。所以...

（2）關于相似與相抵的問題

你肯定是對矩陣輪比較熟，所以一上來就使一個殺招。[1, 0; 0, 1]是一個單位矩陣，只跟自己相似。矩陣相似的問題還是有一點內容的，我的觀點是不要在建立概念階段帶出那么多細節來干擾思路，等到概念建立起來之后（哪怕一開始建立的是不那嚴謹的概念）再修正。

我希望徹底回答你這個問題，但還是不太有把握，其實這已經觸及到了我對這個課題的認識邊緣了，所以如果你有更深入的研究，希望指教。

回答上面的問題：

（3） vector = point 1 - point 2 是有方向的， 而點是孤立。 點p和向量 v 對應是建立在： v = p - origin, 但是不能說 v 就是 p。 這一點是嚴格的。 當然你在文中 只是想闡述一些概念，可以不用這么嚴格。

（4） 對于線性空間基的變換，你的理解是錯誤的。該變換不涉及相似。你可以參考線性代數書。

你對空間變換，矩陣變換的開始抽象理解很好，但是還是需要靜下心來理解里面的數學內涵。 對你開始研究圖形學會很有幫助。

5. 關于哲學，我覺得愛因斯坦總結的再透徹也沒有了：

Philosophy is like a mother who gave birth to and endowed all the other sciences. Therefore one should not scorn her in her nakedness and poverty, but should hope; rather, that part of her Don Quixote ideal will live on in her children so that they do not sink into philistinism.

與50位技術專家面對面20年技術見證，附贈技術全景圖

總結

以上是生活随笔為你收集整理的理解矩阵 的一些评论的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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