在對傳動系統進行噪聲、振動和粗糙度（NVH）分析時，齒輪嚙合的彈性對結果起著至關重要的作用。COMSOL Multiphysics? 軟件中的新特征和功能能夠準確地評估齒輪嚙合剛度，從而可以幫助我們創建一個精確的齒輪模型。今天，我們將解釋為什么要考慮齒輪嚙合彈性，以及如何計算齒輪嚙合剛度并將其納入多體動力學模型中的重要性。

齒輪嚙合剛度的重要性

在齒輪發明之前，輪子在摩擦力的作用下將一個軸的旋轉傳遞到另一個軸上。使用這種摩擦輪的主要缺點是超過一定的扭矩值時會發送滑脫，這是因為可以傳遞的最大扭矩會受到摩擦扭矩的限制。為了克服這一限制，人們開始使用齒輪，如今更普遍是被稱為鈍齒輪或齒輪。

使用多體動力學模塊中的零件庫創建的齒輪對。

齒輪的主要目的是避免滑移。這就是為什么一個齒輪的齒要插入配對齒輪的齒之間的原因，這個過程稱為齒輪嚙合。與齒輪的核心區域相比，齒輪的嚙合區域更加靈活。因此，當試圖準確捕捉系統中的動力學和振動時，考慮齒輪嚙合的剛度很重要。

齒輪嚙合剛度取決于幾個不同的參數，最重要的是，它會隨齒輪的旋轉而變化。這使得問題變成非線性問題，并且連續變化的齒輪嚙合剛度會引起系統的振動。這種存在于傳動系統中不同部分的振動會產生噪聲輻射。因此，評估齒輪嚙合剛度并將其納入齒輪模型中至關重要。

使用靜態接觸分析評估齒輪嚙合剛度

為了檢查齒輪嚙合剛度，我們首先假設齒輪是彈性體，并建立它們之間的接觸模型。然后進行靜態參數分析，以確定嚙合循環中不同位置的齒輪嚙合剛度。嚙合周期的定義是齒輪旋轉的圈數，之后下一個齒占據第一個齒的位置。

為了理解這個過程，我們以其中兩個均由鋼制成的齒輪為例來說明，這些齒輪具有以下特性：

在該示例中，兩個齒輪在其各自的中心處鉸接。使用罰接觸方法，對兩個齒輪的齒之間的接觸進行建模。相互接觸的兩個齒輪的邊界如下所示。有關如何設置此模型的更多詳細信息，可以查看 COMSOL 案例庫中的復合輪系的振動模型案例教程。

復合輪系的振動?cn.comsol.com

齒輪副中的接觸副邊界（左）和有限元網格（右）。

由于嚙合周期中齒輪在不同位置的嚙合剛度會發生變化，因此我們對兩個齒輪進行參數化旋轉以計算齒輪嚙合剛度的變化。指定副齒輪（θp）繞平面外的軸旋轉兩個嚙合周期。齒輪繞（θw）平面外的軸旋轉的定義如下：

其中，齒輪比

為 1.5， 的扭轉值為 0.5°。

給定齒輪一個扭轉角度

，和所需的的扭矩 T，并在鉸接處進行計算。因此，齒輪副的扭轉剛度被定義為：

一旦知道了扭轉剛度，就可以將沿作用線的剛度定義為：

其中，

是輪的中徑，α 是壓力角。

嚙合周期中不同位置的齒輪對中的 von Mises 應力分布。這表明沿作用線的接觸點處的應力水平很高。

下圖顯示了在兩個嚙合周期中，計算出的齒輪嚙合剛度隨副齒輪旋轉的變化。我們可以看到，齒輪嚙合剛度在每個嚙合周期以及多個嚙合周期內都是周期性的，在開始時先增大，之后再減小。這是由于重合度的變化導致的。在嚙合周期開始時，重合度從 1 增加到 2，但隨后又下降到 1。

齒輪嚙合剛度隨小齒輪旋轉而變化。

不同參數對齒輪嚙合剛度的影響

在上一節中，我們了解了齒輪嚙合剛度隨齒輪在嚙合循環中的位置而變化。它還取決于其他幾個參數，這里我們列出了其中的一些：

• 齒參數
  • 齒數或模數
  • 壓力角（齒面與齒輪切線之間的角度）
  • 齒頂高（從節距表面到齒最外點的徑向距離）
• 幾何參數
  • 中徑
  • 寬度
• 材料性能

下面，我們重點研究齒輪參數對嚙合剛度的影響。我們使用與第一張表中相同的幾何和材料特性。

情況 1：齒數或模數對嚙合剛度的影響

為了觀察齒數或模數對齒輪嚙合剛度的影響，我們考慮了副齒輪上不同的齒數值。

• 副齒輪上的齒數： = 20，28，36

然后，將齒輪比設置為 1.5 來計算輪上的齒數。其他兩個齒輪上的齒參數固定為以下值：

• 壓力角：α= 25°
• 齒頂直徑比：adr= 0.6

三個不同齒數值（

= 20、28、36）的齒輪嚙合。

不同

值下齒輪副中的 von Mises 應力分布。

在三個不同齒數值（

= 20、28、36）下，齒輪嚙合剛度隨副齒輪旋轉而變化。對于更多的齒或對于較小的模數，嚙合剛度相對較高且較平滑。

情況 2：壓力角對嚙合剛度的影響

為了解壓力角對齒輪嚙合剛度的影響，我們來看一下三個不同壓力角下的情況。

• 壓力角：α=20°，25°，35°

其他兩個齒輪齒參數固定為以下值：

• 副齒輪上的齒數： = 20
• 齒頂直徑比：adr= 0.6

三個不同的壓力角值（α= 20°，25°，35°）的齒輪嚙合。

對于三個不同的壓力角值（α= 20°，25°，35°），齒輪嚙合剛度隨副齒輪旋轉而變化。嚙合剛度隨著壓力角的增大而增加。

情況 3：齒頂中徑比對嚙合剛度的影響

在研究了模數和壓力角的影響后，我們現在研究不同齒頂值對齒輪嚙合剛度的影響。

• 齒頂中徑比：adr= 0.6，0.75，0.9

其他兩個齒輪齒參數固定為以下值：

• 壓力角：α= 25°
• 副齒輪上的齒數： = 20

三個不同齒頂中徑比的齒輪齒距（adr= 0.6、0.75、0.9）。

三個不同的齒頂中徑比（adr= 0.6、0.75、0.9）下，齒輪嚙合剛度隨副齒輪旋轉的變化。齒頂值越高，剛度相對較高，但是波動也更大。這可能會導致傳動系統中的振動水平更高。

在多體動力學分析中考慮齒輪嚙合剛度

使用靜態接觸分析評估齒輪嚙合剛度后，下一步是將剛度納入到齒輪模型中，以便我們可以對整個傳動系統進行 NVH 分析。

齒輪嚙合剛度和阻尼沿兩個齒輪之間的作用線增加。

在多體動力學分析中，我們在齒輪副節點下齒輪彈性節點中使用評估的齒輪嚙合剛度。在此分析中，我們將齒輪嚙合剛度寫成齒輪旋轉的函數。默認情況下，假定嚙合剛度在嚙合循環中是周期性的。當然，也可以假設它在一個完整的旋轉是周期性的。

為了抑制振動，我們可以在齒輪彈性 節點中添加齒輪嚙合阻尼，可以根據嚙合剛度的函數輸入，也可以顯式輸入。當齒輪嚙合剛度變化可獲得時，后一種方法效果很好。如果我們沒有確切的齒輪嚙合剛度變化，則可以使用齒輪和副齒輪的齒輪剛度。可以通過在齒輪上施加載荷并測量撓度來簡單地評估齒的剛度。齒輪剛度也是嚙合周期的函數，盡管作為一個近似值，我們可以將其作為一個恒定的平均值輸入。

計算齒輪嚙合總剛度還需要確定重合度。簡單來說，重合度可以定義為在齒輪與配對齒輪接觸和脫離接觸期間，接觸齒數的平均測量值。為了說明不同的重合度如何影響剛度，我們來研究以下幾種情況。

情況 1：重合度為 1

在第一種情況下，只有一對齒在嚙合循環中的所有位置接觸。齒輪齒剛度的典型變化如下所示。

一對接觸齒輪的齒剛度的典型變化。

情況 2：重合度為 2

在這種情況下，兩對齒在嚙合循環中的所有位置都接觸。從下圖可以看出，除了相位差以外，第二對齒的剛度與第一對齒相同。齒輪嚙合的總剛度是單個齒剛度的總和。

當重合度等于 2時，第一對和第二對齒輪的齒輪齒剛度的典型變化。

情況 3：重合度在 1 和 2 之間

在第三種情況下，接觸中的齒對在嚙合循環中的不同位置發生變化。對于某些位置，只有一對齒處于接觸狀態，而在其他位置，則有兩對齒處于接觸狀態。當第二對齒在嚙合循環中失去接觸時，其剛度變為零。這會導致整體齒輪嚙合剛度發生較大波動，從而導致系統振動。

當重合度在 1 和 2 之間時，第一對和第二對齒的齒輪齒剛度的典型變化。

齒輪嚙合剛度對斜齒輪動力學的影響

為了證明齒輪嚙合剛度對齒輪動力學的影響，我們以一對斜齒輪為例來說明。首先進行瞬態研究，以比較剛性齒輪嚙合、恒定剛度的齒輪嚙合和變剛度的齒輪嚙合。然后，分析不同類型的齒輪嚙合對從動齒輪的角速度以及接觸力的影響。有關此教程模型的更多詳細信息，請參見下方案例

斜齒輪動力學?cn.comsol.com

下圖顯示了從動齒輪的角速度隨驅動齒輪的角速度的變化。對于剛性齒輪嚙合，從動齒輪會以恒定的速度旋轉。當齒輪嚙合剛度恒定時，從動齒輪會先波動，然后再穩定到恒定速度。具有剛度變化的齒輪嚙合繼續圍繞平均值波動，從而引起振動。

不同類型齒輪嚙合的從動齒輪角速度。

我們可以在接觸力中觀察到類似的趨勢。剛性和恒定剛度的齒輪嚙合最終保持恒定的接觸力，但是變剛度的齒輪嚙合會導致接觸力在平均值上下波動。接觸力的變化相對于嚙合周期是周期性的，并且接觸力在 150N~450N 之間變化，平均值為 250 N。嚙合周期中接觸力的這種較大變化會引起系統其他部分的振動。這可能會在周圍區域產生噪聲輻射。

對于不同類型的齒輪嚙合，接觸力隨齒輪旋轉而變化。

結語

齒輪嚙合剛度的變化取決于多個幾何和材料參數，在傳動系統的 NVH 分析中起著重要作用。借助 COMSOL Multiphysics 和其附加的多體動力學模塊，我們可以通過結合接觸分析與零件庫中的參數化齒輪來計算齒輪嚙合剛度的變化。然后，在多體動力學模型中使用計算出的齒輪嚙合剛度來準確地捕獲與傳動系統其他部分一起工作的齒輪的動力學。

了解有關齒輪和多體動力學建模的更多信息

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多體動力學建模?cn.comsol.com

下載以下案例教程，開始模擬齒輪：

復合輪系的振動?cn.comsol.com斜齒輪動力學?cn.comsol.com

經授權轉載自 COMSOL 博客，作者 Pawan Soami

如何在多體動力學模型中評估齒輪嚙合剛度?cn.comsol.com

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總結

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