【注：狹相=狹義相對論，廣相=廣義相對論】

從純數(shù)的觀點(diǎn)看，廣相是切叢聯(lián)絡(luò)的動力學(xué)，規(guī)范場論是纖維叢聯(lián)絡(luò)的動力學(xué)。二者都是(不同)纖維叢上的某種聯(lián)絡(luò)幾何。而這種聯(lián)絡(luò)結(jié)構(gòu)的出現(xiàn)恰是對理論作出規(guī)范不變要求的結(jié)果。

Yang-Mills方程和Riemann曲率張量的相似性

規(guī)范場纖維叢對應(yīng)關(guān)系字典 (Wu-Yang Dictionary)

從物理的觀點(diǎn)看，規(guī)范不變的源頭之一是理論力學(xué)里的諾特定理：拉氏量的每一個全域連續(xù)對稱(李群)對應(yīng)一個物理守恒量。若時空每個位置的場在相同的變換下保持物理方程的數(shù)學(xué)形式不變(協(xié)變)，那我們就能得到一個對應(yīng)的守恒定律。具體來講，比如能量守恒，對應(yīng)的就是時間平移對稱；線性動量守恒，就是空間平移對稱；角動量守恒，就是空間旋轉(zhuǎn)對稱。現(xiàn)把全域不變推廣成局域不變，即要求時空每點(diǎn)在不同變換下保持物理方程的數(shù)學(xué)形式不變(協(xié)變)，我們就得到所謂規(guī)范不變。具體到規(guī)范場論，這里規(guī)范群(由保范緊李群刻畫)作用的是各種內(nèi)秉空間SU(N)。以EM為例，這里內(nèi)秉空間由U(1)群描述。現(xiàn)對內(nèi)秉空間作轉(zhuǎn)動，若要求全域在相同轉(zhuǎn)動之下保持物理定律數(shù)學(xué)形式不變，那就得到U(1)群的力荷守恒；若要求全域在不同轉(zhuǎn)動之下保持物理定律數(shù)學(xué)形式不變，即規(guī)范不變，那就可以得到電磁場作用量，從而得到一整套電動力學(xué)。

具體到廣相，這里廣義坐標(biāo)變換群(由非緊李群-微分同胚群刻畫)作用的是時空流形每點(diǎn)的切空間。若要求全域在相同坐標(biāo)群作用下保持物理不變，就得到狹相(廣相的特例)的閔可夫斯基幾何；若要求全域在不同坐標(biāo)群作用下保持物理不變(廣義協(xié)變)，即規(guī)范不變，就得到廣相里由愛因斯坦方程描述的彎曲時空幾何。由此可見，規(guī)范不變原理是對物理定律一類相當(dāng)強(qiáng)的約束條件。這類約束基本上決定了規(guī)范玻色子場/引力場的物理行為。這也正是楊振寧70年代提出所謂(規(guī)范)對稱支配相互作用的精神所在。

然而值得注意的是，廣相和規(guī)范場論的兩套框架體系并不能融合。后者纖維叢的底流形是前者，這兩者基本算是風(fēng)馬牛不相及的。細(xì)致點(diǎn)說，廣相探討的是外部對稱，而規(guī)范場論是內(nèi)部對稱。我們自然可以硬把外部對稱當(dāng)內(nèi)部對稱來做(不反過來做的原因是規(guī)范場量子化我們知道如何處理，比如把規(guī)范場的經(jīng)典作用量丟去費(fèi)曼路徑積分的指數(shù)位置或者把經(jīng)典泊松括號替換成量子泊松括號)，即得到所謂局域龐加萊規(guī)范場論。該理論六七十年代就有人研究過，但并沒什么好的發(fā)展。

另一條路是采用高維時空緊致化，這也是超弦理論的基本思想。Kaluza-Klein理論(超引力)就是該思想的源頭：5維真空時空的愛因斯坦方程緊致化掉第5維后得到的理論自動包括4維引力和麥克斯韋方程(存在于被緊致化的蜷縮維中，而緊致化基本可視為將外部維度縮到纖維中，從而將纖維，底流形，內(nèi)外部對稱聯(lián)系在一起)。進(jìn)一步可以將維度推廣成11維，其中4個廣延維容納了廣相，7個蜷縮維容納了標(biāo)準(zhǔn)模型的規(guī)范場論。然而不幸的是，這樣算出來的荷質(zhì)比不對。

再另一方面，一些數(shù)學(xué)手段可以用來統(tǒng)一內(nèi)外部對稱，比如大名鼎鼎的超對稱。它不但可以結(jié)合內(nèi)外部對稱，還建立了費(fèi)米子和玻色子間的對應(yīng)關(guān)系：費(fèi)米子經(jīng)由超對稱作用變成玻色子，反之亦然。且超對稱作用下量子場論的重整化與發(fā)散問題都可以得到明顯的緩解。只不過現(xiàn)在的問題是：超對稱的正確性還未被實(shí)驗(yàn)證實(shí)。

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編輯: Gemini????

來源：知乎

作者：VIC

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總結(jié)

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