目錄

• 一、問題
• 二、Clarke模型
• 三、Jakes模型
• 四、Jakes模型的MATLAB仿真
• 五、Jakes模型的Simulink仿真
• 六、總結

一、問題

最近為了完成老師布置的作業，就通過博客這種方式來記錄一下自己的解決問題的過程，問題如下：

(1) 無線信道中的多普勒譜有一種經典譜(classic spectrum)，請解釋產生這種譜形狀的機理；
(2) 請用Simulink或者m語言，產生一條單徑瑞利信道，其多普勒譜為經典譜，其中移動速率為120km/h。并請描述：自己用計算機產生的經典譜是正確的依據。

? ? ? ?通過閱讀與分析知網以及CSDN的相關文獻后，對于多普勒經典譜的產生原理，我利用Clarke理論模型，來推導出瑞利信道的經典譜的功率譜密度，解決第一問，下面是Clarke理論模型的推導過程。

二、Clarke模型

1）計算平面波的通頻帶發射信號$\tilde{x}\left(t\right)$

? ? ? ?Clarke模型假設有N個具有任意相位的平面波，每個平面波以任意的方向到達移動臺，且所有平面波的平均功率相同。設移動臺的速度為$v$，平面波沿$x?y$ 平面上的水平方向到達，平面波與移動臺的運動方向之間的夾角即到達角度（Angle of Arrival，AoA）為$\theta$，如圖2.1所示。

圖2.1: 移動臺與平面波的到達角度的示意圖

其中設平面波的基帶發射信號為$x\left(t\right)$，載波的波長為$\lambda$，載波頻率為$f_c$，則通頻帶的發射信號$\tilde{x}\left(t\right)$為
$$\tilde{x}\left(t\right)=\text{Re}\left[x\left(t\right)e^{j2\pi f_{c}t}\right]\text{\hspace{1em}(2.1)}$$

2）計算移動臺的基帶接收信號$y\left(t\right)$

? ? ? ?由于移動臺的相對運動，到達移動臺的平面波都會經歷多普勒頻移，且每條傳播路徑的多普勒頻移都不同。設移動臺位于有$I$條傳播路徑的散射信道，則通頻帶接收信號$\tilde{y}\left(t\right)$可表示為
$$\begin{gathered} \tilde{y}\left(t\right)=\text{Re}\left[\sum _{i=1}^I{C}_i{e}^{j2\pi \left(f_c+f_i\right)\left(t?{\tau }_i\right)}x\left(t?{\tau }_i\right)\right] \\ =\text{Re}\left[y\left(t\right)e^{j2\pi f_{c}t}\right]\text{\hspace{1em}(2.2)} \end{gathered}$$

其中$C_i,f_i,{\tau }_i$分別表示第$i$條傳播路徑的信道增益、多普勒頻移、時延。
? ? ? ?而移動臺的基帶接收信號$y\left(t\right)$可表示為
$$y\left(t\right)=\sum _{i=1}^I{C}_i{e}^{?j{?}_i\left(t\right)}x\left(t?{\tau }_i\right)\text{\hspace{1em}(2.3)}$$

其中${?}_i\left(t\right)=2\pi \left\{\left(f_c+f_i\right){\tau }_i?f_i{t}_i\right\}$。
? ? ? ?第$i$條傳播路徑的多普勒頻移可表示為$f_i=f_m\cos {\theta }_i=\frac{v}{\lambda }\cos {\theta }_i$，其中$f_m,{\theta }_i$分別表示最大多普勒頻移、第$i$條傳播路徑的到達角度。第$i$條傳播路徑的到達角度服從$\left[?\pi ,\pi \right]$的均勻分布。

3）利用脈沖響應表示通頻帶接收信號$\tilde{y}\left(t\right)$

? ? ? ? 基帶信道可建模為線性時變濾波器，當路徑的時延差遠小于采樣周期$T_s$時，路徑時延${\tau }_i$
可近似為$\hat{\tau }$，則該濾波器的復基帶脈沖響應為
$$h\left(t,\tau \right)=\sum _{i=1}^I{C}_i{e}^{?j{?}_i\left(t\right)}\delta \left(t?{\tau }_i\right)\approx h\left(t\right)\delta \left(t?\hat{\tau }\right)\text{\hspace{1em}(2.4)}$$

其中$h\left(t\right)={\sum }_{i=1}^I{C}_i{e}^{?j{?}_i\left(t\right)}$。
? ? ? ? 假設基帶發射信號$x\left(t\right)=1$，將脈沖響應代入式(2.2)，則通頻帶接收信號可進一步表示為
$$\begin{gathered} \tilde{y}\left(t\right)=\text{Re}\left[y\left(t\right)e^{j2\pi f_{c}t}\right]=\text{Re}\left[\left\{h_I\left(t\right)+j{h}_Q\left(t\right)\right\}{e}^{j2\pi f_{c}t}\right] \\ =h_I\left(t\right)\cos 2\pi f_{c}t?h_Q\left(t\right)\sin 2\pi f_{c}t\text{\hspace{1em}(2.5)} \end{gathered}$$

其中$h_I\left(t\right)$和$h_Q\left(t\right)$分別為$h\left(t\right)$的同相分量和正交分量，可分別表示為
$$h_I\left(t\right)=\sum _{i=1}^I{C}_i\cos {?}_i\left(t\right)\text{\hspace{1em}(2.6)}$$

$$h_Q\left(t\right)=?\sum _{i=1}^I{C}_i\sin {?}_i\left(t\right)\text{\hspace{1em}(2.7)}$$
由中心極限定理可得，當傳播路徑數$I$足夠大時，同相分量和正交分量可近似為高斯隨機變量，因此接收信號的幅度$\left|\tilde{y}\left(t\right)\right|=\sqrt{h_I^2\left(t\right)+h_Q^2\left(t\right)}$服從瑞利分布。

4）計算瑞利信道的功率譜密度

? ? ? ?由于自相關函數和功率譜密度是一對傅里葉變換，對通頻帶接收信號$\tilde{y}\left(t\right)$的自相關函數做傅里葉變換，由此得到瑞利衰落的功率譜密度（PSD） 為
$$S_{\bar{y}\bar{y}}\left(t\right)=\{\begin{array}{l}\frac{{\Omega }_p}{4\pi f_m}\frac{1}{\sqrt{1?{\left(\frac{f?f_c}{f_m}\right)}^2}},\left|f?f_c\right|\le f_m\\ 0,\text{其他}\end{array}\text{\hspace{1em}(2.8)}$$

其中${\Omega }_p=E\left\{h_I^2\left(t\right)\right\}+E\left\{h_Q^2\left(t\right)\right\}={\sum }_{i=1}^I{C}_i^2$，式(2.8)即為經典多普勒譜的功率譜密度。

三、Jakes模型

? ? ? ?根據Clarke理論模型對瑞利衰落的推導，可得接收信號的幅度服從瑞利分布，且其同相分量與正交分量都是服從高斯分布的隨機變量，而相位是服從$\left[?\pi ,\pi \right]$的均勻分布。
? ? ? ?因此Jakes模型采用復正弦波合成的方法，根據中心極限定理，當正弦波的數量足夠多時，經過疊加后得到的接收信號的幅度近似服從瑞利分布，由此產生了具有經典譜的單徑瑞利信道，在物理上近似實現了Clarke理論模型。下面是Jakes模型的具體步驟。

1）設置經過多普勒頻移的平面波

? ? ? ?設有N個平面波，定義$N_0=\left(\frac{N}{2}?1\right)/2$，其中限定$N/2$為一個奇數。設經過最大多普勒頻移$f_m$的平面波的頻率為${\omega }_d=2\pi f_m$，初始相位為${?}_N$。
? ? ? ?設$N_0$個經過多普勒頻移的平面波，其中每一個平面波的到達角度為${\theta }_n=\frac{2\pi n}{N}$，頻率為${\omega }_n={\omega }_d\cos {\theta }_n$，初始相位為${?}_n,n=1,2,?,N_0$。為了使瑞利衰落的相位服從均勻分布，初始相位可設置為
$$\begin{gathered} {?}_N=0 \\ {?}_n=\frac{\pi n}{N_0+1},n=1,2,?,N_0\text{\hspace{1em}(2.9)} \end{gathered}$$

2）合成復正弦波
? ? ? ?將上述的$N_0$個經過多普勒頻移的平面波的復振蕩器的輸出求和，然后與經過最大多普勒頻移$f_m$
的平面波的復振蕩器的輸出相加，如圖3.1所示。在復振蕩器的總和中，實部$h_I\left(t\right)$和虛部$h_Q\left(t\right)$分別表示為
$$\begin{gathered} h_I\left(t\right)=2\sum _{n=1}^{N_0}\left(\cos {?}_n\cos {\omega }_{n}t\right)+\sqrt{2}\cos {?}_N\cos {\omega }_{d}t \\ =\left[\cos {?}_1\cos {?}_n?\cos {?}_{N_0}\cos {?}_N\right]??\begin{array}{l}2\cos {\omega }_{1}t\\ 2\cos {\omega }_{2}t\\ ?\\ 2\cos {\omega }_{N_0}t\\ \sqrt{2}\cos {\omega }_{N}t\end{array}?\text{\hspace{1em}(2.10)} \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} h_Q\left(t\right)=2\sum _{n=1}^{N_0}\left(\sin {?}_n\cos {\omega }_{n}t\right)+\sqrt{2}\sin {?}_N\cos {\omega }_{d}t \\ =\left[\sin {?}_1\sin {?}_n?\sin {?}_{N_0}\sin {?}_N\right]??\begin{array}{l}2\cos {\omega }_{1}t\\ 2\cos {\omega }_{2}t\\ ?\\ 2\cos {\omega }_{N_0}t\\ \sqrt{2}\cos {\omega }_{N}t\end{array}?\text{\hspace{1em}(2.11)} \end{gathered}$$

圖3.1: Jakes仿真模型的復正弦波合成過程
因此Jakes仿真模型的復輸出可以表示為
$$h\left(t\right)=\frac{E_0}{\sqrt{2N_0+1}}\left\{h_I\left(t\right)+j{h}_Q\left(t\right)\right\}\text{\hspace{1em}(2.12)}$$

其中$E_0$為衰落信號的平均幅度。由中心極限定理可得，為了使經過疊加后得到的接收信號的幅度近似服從瑞利分布，當經過多普勒頻移的平面波的數量必須足夠多，一般取$N_0=8$。

四、Jakes模型的MATLAB仿真

? ? ? ?為了完成第二問的仿真任務，我通過MATLAB仿真軟件對Jakes模型進行了仿真。根據題設的移動速率$v=120km/h$的條件，由最大多普勒頻移$f_m$公式可得
$$f_m=\frac{v}{\lambda }=\frac{v{f}_c}{c}\text{\hspace{1em}(2.13)}$$

其中$c=3\times 10^{8}m/s$為光速，$f_c$為載波頻率。對于載波頻率$f_c$我設置為2GHz，代入式(2.13)可得最大多普勒頻移$f_m=222.2Hz$，將數據代入Jakes仿真模型中，可得MATLAB輸出的Jakes模型的幅度在時域的特點、幅度與相位的分布、經典模型與仿真模型的自相關函數、多普勒譜如下圖所示。

圖4.1: Jakes模型的幅度在時域的特點 ? ? ? ?由時域圖可得，Jakes模型的幅度隨著時間的增加會發生衰減。

圖4.2: 幅度與相位的分布 ? ? ? ?由分布圖可得，在Jakes模型中接收信號的幅度基本服從瑞利分布，相位則近似服從均勻分布。

圖4.3: 經典模型與仿真模型的自相關函數、多普勒譜

? ? ? ?這里的經典模型采用第一類0階貝塞爾函數的方式得到經典模型的自相關函數，然后對自相關函數做傅里葉變換得到經典模型的功率譜密度，從MATLAB仿真出的經典譜與經典模型的經典譜的圖形對比以及自相關函數的對比圖可以看出，計算機仿真產生的經典譜與理論推導的經典譜差別不大，仿真與經典的自相關函數仍差距不大，同時我使用均方根誤差RMSE進一步對兩個圖形的多普勒譜的幅度數據進行了對比，RMSE的公式如下：
$$RMSE=\sqrt{\frac{1}{N}\sum _{t=1}^N{\left(observe{d}_t?predicte{d}_t\right)}^2}$$

經過MATLAB仿真后輸出的RMSE約為3.3902，可得仿真數據的精確度較高。

五、Jakes模型的Simulink仿真

? ? ? ?為了更進一步地仿真單徑瑞利信道，本次我也采用了Simulink做出了如下圖所示的仿真框圖。

圖5.1: 單徑瑞利信道的仿真框圖

為了更快地仿真完，設置采樣頻率為100kHz，仿真時間為20s。然后設置最大多普勒頻移$f_m=222.2Hz$。注意在單徑瑞利信道模塊中開啟多普勒頻譜的可視化，最后連接好頻譜分析儀，運行Simulink后，得到如下結果。

圖5.2: 實際樣本與理論多普勒譜的對比圖

由對比圖可得，實際測量的樣本接近于理論多普勒譜（經典譜）。然后觀察頻譜分析儀得到的結果。

圖5.3: 頻譜分析儀得到的頻譜圖

由頻譜圖可得，兩個峰值對應的頻率約為205Hz、-205Hz，其絕對值接近于設置的最大多普勒頻移$f_m=222.2Hz$。綜上，可以判斷出我用計算機產生的經典譜是正確的。

六、總結

? ? ? ?感謝大家能閱讀到這里！這是我時隔一年多又一次開始動筆寫技術博客了，哈哈感覺還是生疏了，對于Markdown的有些格式問題弄了挺久的，自己也查閱了很多不懂知識，參考了很多資料，感謝前輩們的幫助！自己還是寫得不太好，還請讀者們多多指教，不過真的感覺寫博客還是很有趣的！如果這篇博客能夠幫助到大家，我自己就很開心了！
? ? ? ?這次通過寫老師布置的作業，學會了在網上查找資料，然后閱讀分析，消化吸收相關的內容，基本上Clarke理論模型、Jakes仿真模型搞懂了，然后也溫習了一遍MATLAB，寫了寫仿真代碼，用輕薄本跑了跑程序，哈哈每跑一次風扇都要轉起來！也熟悉了Simulink的使用，希望自己之后能繼續加油。雄關漫道真如鐵，而今邁步從頭越！

這里是本文的參考文獻：
[1]:matlab實現單徑瑞利信道仿真中經典多普勒譜（Clarke模型、Jakes模型）
[2]:MIMO-OFDM無線通信技術及MATLAB實現
[3]:均方誤差(MSE)和均方根誤差(RMSE)和平均絕對誤差(MAE)
[4]:瑞利信道建模 matlab程序原理到實現

總結

以上是生活随笔為你收集整理的瑞利信道的多普勒谱的原理与MATLAB仿真的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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