第六章 平面圖

一、平面圖概念與性質(zhì)

(一)、平面圖的概念

定義1 如果能把圖G畫在平面上，使得除頂點(diǎn)外，邊與邊之間沒有交叉，稱G可以嵌入平面，或稱G是可平面圖。可平面圖G的邊不交叉的一種畫法，稱為G的一種平面嵌入，G的平面嵌入表示的圖稱為平面圖。

注: (1) 可平面圖概念和平面圖概念有時(shí)可以等同看待；

(2) 圖的平面性問題主要涉及如下幾個(gè)方面：

? 1) 平面圖的性質(zhì)；

? 2) 平面圖的判定；

? 3) 平面嵌入方法(平面性算法) ;

? 4）涉及圖的平面性問題的拓?fù)洳蛔兞俊?/p>

(二)、平面圖性質(zhì)

定義2

? (1) 一個(gè)平面圖G把平面分成若干連通片，這些連通片稱為G的區(qū)域，或G的一個(gè)面。G的面組成的集合用Φ表示。

(2) 面積有限的區(qū)域稱為平面圖G的內(nèi)部面，否則稱為G的外部面。

(3) 在G中，頂點(diǎn)和邊都與某個(gè)給定區(qū)域關(guān)聯(lián)的子圖，稱為該面的邊界。某面 f 的邊界中含有的邊數(shù)(割邊計(jì)算2次)稱為該面 f 的次數(shù), 記為deg ( f )。

1、平面圖的次數(shù)公式

定理1 設(shè)G=(n, m)是平面圖，則：

2、平面圖的歐拉公式

定理2(歐拉公式) 設(shè)G=(n, m)是連通平面圖，ф是G的面數(shù)，則：

3、歐拉公式的幾個(gè)有趣推論

推論1 設(shè)G是具有ф?zhèn)€面k個(gè)連通分支的平面圖，則：

? 推論2 設(shè)G是具有n個(gè)點(diǎn)m條邊ф?zhèn)€面的連通平面圖，如果對(duì)G的每個(gè)面f ,有：deg (f) ≥ l ≥3,則：(可平面圖性質(zhì))

推論3 設(shè)G是具有n個(gè)點(diǎn)m條邊ф?zhèn)€面的簡(jiǎn)單平面圖，則：

推論4 設(shè)G是具有n個(gè)點(diǎn)m條邊的連通平面圖，若G的每個(gè)圈均由長(zhǎng)度是 l 的圈圍成，則：

推論5 設(shè)G是具有n個(gè)點(diǎn)m條邊的簡(jiǎn)單平面圖，則：

定理3 一個(gè)連通平面圖是2連通的，當(dāng)且僅當(dāng)它的每個(gè)面的邊界是圈。

推論6 若一個(gè)平面圖是2連通的，則它的每條邊恰在兩個(gè)面的邊界上。

(三)、圖的嵌入性問題簡(jiǎn)介

1、曲面嵌入

1)、球面嵌入

定理4 G可球面嵌入當(dāng)且僅當(dāng)G可平面嵌入。

2)、環(huán)面嵌入

定向曲面嵌入

2、圖的3維空間嵌入

定理5 所有圖均可嵌入R3中。

(四)、凸多面體與平面圖

一個(gè)多面體稱為凸多面體，如果在體上任取兩點(diǎn)，其連線均在體上。

凸多面體的一維骨架：把一個(gè)凸多面體壓縮在平面上，得到一個(gè)對(duì)應(yīng)的平面圖，該平面圖稱為該凸多面體的一維骨架。**

定理6 存在且只存在5種正多面體：它們是正四、六、八、十二、二十面體。

二、特殊平面圖與平面圖的對(duì)偶圖

(一)、特殊平面圖

1、極大平面圖及其性質(zhì)

定義1 設(shè)G是簡(jiǎn)單可平面圖，如果G是Ki (1≦i≦4),或者在G的任意非鄰接頂點(diǎn)間添加一條邊后，得到的圖均是非可平面圖，則稱G是極大可平面圖。

注：只有在單圖前提下才能定義極大平面圖。

引理 設(shè)G是極大平面圖，則G必然連通；且若G的階數(shù)大于等于3，則G無(wú)割邊。

定理1 設(shè)G是至少有3個(gè)頂點(diǎn)的平面圖，則G是極大平面圖，當(dāng)且僅當(dāng)G的每個(gè)面的次數(shù)是3且為單圖。（“極大平面圖的三角形特征”，即每個(gè)面的邊界是三角形。）

2、極大外平面圖及其性質(zhì)

定義3 若一個(gè)可平面圖G存在一種平面嵌入，使得其所有頂點(diǎn)均在某個(gè)面的邊界上，稱該圖為外可平面圖。外可平面圖的一種外平面嵌入，稱為外平面圖。

定義4 設(shè)G是一個(gè)簡(jiǎn)單外可平面圖，若在G中任意不鄰接頂點(diǎn)間添上一條邊后，G成為非外可平面圖，則稱G是極大外可平面圖。極大外可平面圖的外平面嵌入，稱為極大外平面圖。

引理 設(shè)G是一個(gè)連通簡(jiǎn)單外可平面圖，則在G中存 在度數(shù)至多是2的頂點(diǎn)。(證明略)

設(shè)G是一個(gè)具有n (n≥4)個(gè)點(diǎn)，m條邊的簡(jiǎn)單連通外平面圖。若G不含三角形，則m≤(3n–4)/2

定理2 設(shè)G是一個(gè)有n (n≥3)個(gè)點(diǎn)，且所有點(diǎn)均在外部面上的極大外平面圖，則G有n-2個(gè)內(nèi)部面。

定理3 設(shè)G是一個(gè)有n (n≥3)個(gè)點(diǎn)，且所有點(diǎn)均在外部面上的外平面圖，則G是極大外平面圖，當(dāng)且僅當(dāng)其外部面的邊界是圈，內(nèi)部面是三角形。

定理4 每個(gè)至少有7個(gè)頂點(diǎn)的外可平面圖的補(bǔ)圖不是外可平面圖，且7是這個(gè)數(shù)目的最小者。

設(shè)G是一個(gè)階數(shù)為n (n≥4)且所有點(diǎn)均在外部面上的極大外平面圖，則G中存在兩個(gè)度數(shù)均為2且不相鄰的點(diǎn)

圖G是可平面的當(dāng)且僅當(dāng)它不含與K5或K3,3同胚的子圖

3、其他

? 如果在不可平面圖G中任意刪去一條邊所得的圖為可平面圖，則稱G為極小不可平面圖。例如K5和K3,3

(二)、平面圖的對(duì)偶圖

1、對(duì)偶圖的定義

定義4 給定平面圖G，G的對(duì)偶圖G*如下構(gòu)造：

(1) 在G的每個(gè)面fi內(nèi)取一個(gè)點(diǎn)vi*作為G*的一個(gè)頂點(diǎn)；

(2) 對(duì)G的一條邊e, 若e是面 fi 與 fj 的公共邊，則連接vi與vj，且連線穿過邊e;若e是面 fi 中的割邊，則以vi為頂點(diǎn)

作環(huán)，且讓它與e相交。

2、對(duì)偶圖的性質(zhì)

(1)、G與G*的對(duì)應(yīng)關(guān)系

1) G\*的頂點(diǎn)數(shù)等于G的面數(shù)；

? 2) G*的邊數(shù)等于G的邊數(shù)；

? 3) G*的面數(shù)等于G的頂點(diǎn)數(shù)；

? 4) d (v*)=deg( f )

(2)、定理5 平面圖G的對(duì)偶圖必然連通

注: (1) 由定理5知：(G*)*不一定等于G;

(2) G是平面圖，則$((G{)}^{?}{)}^{?}?G$當(dāng)且僅當(dāng)G是連通的。(習(xí)題第26題)

例2 證明：

(1) B是平面圖G的極小邊割集，當(dāng)且僅當(dāng)

是G*的圈。

(2) 歐拉平面圖的對(duì)偶圖是偶圖。

三、平面圖的判定與涉及平面性不變量

定義1 在圖G的邊上插入一個(gè)2度頂點(diǎn)，使一條邊分成兩條邊，稱將圖在2度頂點(diǎn)內(nèi)擴(kuò)充；去掉一個(gè)圖的2度頂點(diǎn)，使關(guān)聯(lián)它們的兩條邊合并成一條邊，稱將圖G在2度頂點(diǎn)內(nèi)收縮。

定義2 兩個(gè)圖G1與G2說(shuō)是同胚的，如果$G_1?G_2$，或者通過反復(fù)在2度頂點(diǎn)內(nèi)擴(kuò)充和收縮后能夠變成一對(duì)同構(gòu)的圖。

定理1 (庫(kù)拉托斯基定理) 圖G是可平面的，當(dāng)且僅當(dāng)它不含K5和K3,3同胚的子圖。

定義3 給定圖G, 去掉G中的環(huán)，用單邊代替平行邊而得到的圖稱為G的基礎(chǔ)簡(jiǎn)單圖。

定理2 (1) 圖G是可平面的，當(dāng)且僅當(dāng)它的基礎(chǔ)簡(jiǎn)單圖是可平面的； (2) 圖G是可平面圖當(dāng)且僅當(dāng)G的每個(gè)塊是可平面圖。

定義4 設(shè)uv是簡(jiǎn)單圖G的一條邊。去掉該邊，重合其端點(diǎn)，再刪去由此產(chǎn)生的環(huán)和平行邊。這一過程稱為圖G的初等收縮或圖的邊收縮運(yùn)算。

定理2 (瓦格納定理)：簡(jiǎn)單圖G是可平面圖當(dāng)且僅當(dāng)它不含有可收縮到K5或K3,3的子圖。

四、平面性算法

定義1 設(shè)H是G的一個(gè)子圖，在E(G)-E(H)中定義一個(gè)二元關(guān)系“ ~”:

? $?e_1,e_2\in E(G)?E(H)$,$e_1～e_2$當(dāng)且僅當(dāng)存在一條途徑W，使得：

? (1) e1與e2分別是W的始邊和終邊，且 (2) W的內(nèi)點(diǎn)與H不能相交。

定義2 設(shè)B是E(G)-E(H)關(guān)于二元關(guān)系“ ~” 的等價(jià)類在G中的邊導(dǎo)出子圖，則稱B是G關(guān)于子圖H的一座橋。橋與H的公共頂點(diǎn)稱為橋B在H中的附著頂點(diǎn)。

定義3 設(shè)H是圖G的可平面子圖，$\tilde{H}$是H的一種平面嵌入。若G也是可平面圖，且存在G的一個(gè)平面嵌入$\tilde{G}$ ，使得：$\tilde{H}?\tilde{G}$,稱$\tilde{H}$是G容許的

定義4 設(shè)B是G中子圖H的任意一座橋，若B對(duì)H的所有附著頂點(diǎn)都位于 的某個(gè)面 f 的邊界上，則稱B在面 f 內(nèi)可畫入，否則，稱B在面 f 內(nèi)不可畫入。

算法：

(1) 取G的一個(gè)圈H1,求出H1的一個(gè)平面嵌入$\widetilde{H1}$ 。置i=1;

(2) 若E(G)-E(Hi)=Φ,則停止；否則，確定G中Hi的所有橋，并對(duì)每座橋B，求出$F(B,\widetilde{H_i})$ ；

(3) 若存在橋B,使得：$F(B,\widetilde{H_i})=?$ ，則停止 (G不可平面) ；否則，在Hi的所有橋中確定一個(gè)使得$|F(B,\widetilde{H_i})|$最小的B，并取$f\in F(B,\widetilde{H_i})$

(4) 在橋B中取一條連接Hi中兩個(gè)附著頂點(diǎn)的路Pi, $P_i?B_i$ 。 置Hi+1=Hi∪Pi,把Pi畫在$\widetilde{H_i}$的面 f 內(nèi),得到$\widetilde{H_{i+1}}$

(5) 置i=i+1轉(zhuǎn)(2)。

總結(jié)：重要的性質(zhì)定理

1、平面圖的性質(zhì)（包括次數(shù)公式，歐拉公式，一些推論）

• 次數(shù)公式:設(shè)G=(n, m)是平面圖，則：${\sum }_{f\in ?}def(f)=2m$

• 歐拉公式:設(shè)G=(n, m)是連通平面圖，ф是G的面數(shù)，則：$n?m+?=2$

• 推論1 設(shè)G是具有ф?zhèn)€面k個(gè)連通分支的平面圖，則：$n?m+?=k+1$

• 推論2 設(shè)G是具有n個(gè)點(diǎn)m條邊ф?zhèn)€面的連通平面圖，如果對(duì)G的每個(gè)面f ,有：deg (f) ≥ l ≥3,則：$m\le \frac{l}{l?2}(n?2)$

• 推論3 設(shè)G是具有n個(gè)點(diǎn)m條邊ф?zhèn)€面的簡(jiǎn)單平面圖，則：$m\le 3n?6$

• 推論4 設(shè)G是具有n個(gè)點(diǎn)m條邊的連通平面圖，若G的每個(gè)圈均由長(zhǎng)度是 l 的圈圍成，則：$m(l?2)=l(n?2)$

• 推論5 設(shè)G是具有n個(gè)點(diǎn)m條邊的簡(jiǎn)單平面圖，則：$\delta \le 5$

• K5和K3,3是非可平面圖

• 彼得森圖是非可平面圖

2、嵌入性和特殊平面圖

• G可球面嵌入當(dāng)且僅當(dāng)G可平面嵌入。
• 存在且只存在5種正多面體：它們是正四、六、八、十二、二十面體
• 設(shè)G是至少有3個(gè)頂點(diǎn)的平面圖，則G是極大平面圖，當(dāng)且僅當(dāng)G的每個(gè)面的次數(shù)是3且為單圖。（“極大平面圖的三角形特征”，即每個(gè)面的邊界是三角形。）

2、平面圖的判定

（1）對(duì)于簡(jiǎn)單圖G=（n，m），如果m>3n-6，則G是非可平面的；
（2）對(duì)于簡(jiǎn)單連通圖G=（n，m），如果每個(gè)面次數(shù)至少為$l\ge 3$，且$m>\frac{l(n?2)}{l?2}$，則G是非可平面的；

(3) (庫(kù)拉托斯基定理) 圖G是可平面的，當(dāng)且僅當(dāng)它不含K5和K3,3同胚的子圖。

(4)(瓦格納定理)：簡(jiǎn)單圖G是可平面圖當(dāng)且僅當(dāng)它不含有可收縮到K5或K3,3的子圖。

3、平面性算法

找一個(gè)圈—>找出所有的橋—>依次選取橋可嵌入最小的平面數(shù)進(jìn)行嵌入—>畫出平面圖（否則不存在）

總結(jié)：一些結(jié)論

• 無(wú)環(huán)圖是2連通的平面圖，一定不包含割點(diǎn)，同時(shí)不包含割邊，一定不包含只屬于一個(gè)面的邊，邊界均為圈

• 若（n,m）圖是極大外平面圖且n大于等于3，則m=2n-3

• 階數(shù)至少為3的極大外平面圖一定是H圖

• G是一個(gè)簡(jiǎn)單圖，若頂點(diǎn)數(shù)n≥11,則G與G的補(bǔ)圖中，至少有一個(gè)是不可平面圖

• 設(shè)G是一個(gè)具有n (n≥4)個(gè)點(diǎn)，m條邊的簡(jiǎn)單連通外平面圖。若G不含三角形，則m≤(3n–4)/2

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的电子科技大学《图论及其应用》复习总结--第六章 平面图的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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