如何通俗的理解伽馬(gamma)函數 - 直覺，求導和示例

我為什么要在乎garmma分布？

使用伽馬函數定義了許多概率分布，例如伽馬分布，Beta分布，狄利克雷分布，卡方分布和學生t分布等。 對于數據科學家，機器學習工程師，研究人員來說，伽馬函數可能是一種最廣泛使用的功能，因為它已在許多分布中使用。然后將這些分布用于貝葉斯推理，隨機過程(例如排隊模型)，生成統計模型(例如潛在狄利克雷分配)和變分推理。因此，如果您很好地了解了Garmma功能，您將對其中出現的許多應用程序有更好的了解！

1.為什么需要伽瑪功能？因為我們要泛化階乘！

階乘函數僅針對離散點(對于正整數-上圖中的黑點)定義，但是我們希望連接黑點。我們想將階乘函數擴展到所有復數。階乘的簡單公式x！= 1 * 2 … x，不能直接用于小數值，因為它僅在x是整數時才有效。 因此，數學家一直在尋找...“什么樣的function將這些點平滑地連接起來，并為我們提供所有實際值的階乘?”

但是，他們找不到可以表示x的和，乘積，冪，指數或對數的* 有限*組合！直到…的實數.

2.歐拉發現了伽瑪函數。(在18世紀)

上面的公式用于找到z的任何實數值的Gamma函數的值。 假設您要計算Γ(4.8)。您將如何解決上述整合？ 可以手動計算Γ(4.8)嗎？也許使用零件積分？

試試看，讓我知道您是否找到有趣的方式！對于我(以及到目前為止的許多其他人)而言，沒有快速簡便的方法手動評估分數的Gamma函數。(如果您有興趣用手解決它，這是一個很好的起點。) 好吧，那么就不用分析了。您能否實現從0到無窮大的積分-以編程方式添加術語“無限次”？

您可以通過幾種方法來實現。最常用的兩種實現是斯特林近似 和Lanczos近似。[For implementation addicts:] For implementation addicts: the codes of Gamma function (mostly Lanczos approximation) in 60+ different language - C, C++, C#, python, java, etc.

讓我們計算Γ(4.8)使用計算機在已經實現的。

我們得到了17.837。 正如我們所期望的，17.837介于3！(=Γ(4)= 6)和4！(=Γ(5)= 24)之間。 (當z是自然數時，Γ(z)=(z-1)！我們將很快證明這一點。) 與只需要正整數的階乘不同，我們可以將任何實數/復數輸入z，包括負數。Gamma函數連接黑點，并很好地繪制曲線。Confusion-buster: 我們正在積分從0到無窮大的x(NOT z)。 ? x是正在集成的輔助變量。 ? 我們沒有將4.8插入x。我們將4.8插入z。

3. Gamma函數如何對階乘函數進行插值？

如果看一下Gamma函數，您會注意到兩件事。 首先，相對于z，它絕對是一個遞增函數。 其次，當z是自然數時，Γ(z + 1)= z！ (我保證我們會盡快證明這一點！) 因此，我們可以期望Gamma函數連接階乘。

Gamma函數如何以當前項x ^ z和e ^ -x結束？ 我不確切知道歐拉的思維過程是什么，但是他是發現自然數e的那個人，因此他必須做很多實驗，將e與其他函數相乘才能找到當前形式。

4. Gamma函數的圖形是什么樣的？

當x變為無窮大∞時，第一項(x ^ z)也變為無窮大∞，但是第二項(e ^ -x)變為零。然后，伽瑪函數會收斂到有限值嗎？

我們可以使用L'H?pital規則嚴格證明它收斂。但是我們也可以毫不費力地看到它的融合。如果您考慮一下，我們正在積分x ^ z(一個多項式遞增函數) 和e ^ -x(一個 指數遞減函數)的乘積。因為e ^ -x的值 下降快于x ^ z的值，所以Gamma函數很可能收斂并具有有限的值。 讓我們繪制每個圖形，因為眼見為實。

x ^ z * e ^ -x的圖 讓我們看一下Γ(4.8)的情況。

圖下綠色陰影區域從0到無窮大，Γ(4.8)= 3.8！ Python代碼用于生成上面的漂亮圖。自己繪制，看看z如何改變Gamma函數的形狀！

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# f(x) = exp(-x) graph #

########################

import matplotlib.pyplot as plt

import numpy as np

# Create x and y

x = np.linspace(-2, 20, 100)

y = np.exp(-x)

# Create the plot

fig, ax = plt.subplots()

plt.plot(x, y, label='f(x) = exp(-x)', linewidth=3, color='palegreen')

# Make the x=0, y=0 thicker

ax.set_aspect('equal')

ax.grid(True, which='both')

ax.axhline(y=0, color='k')

ax.axvline(x=0, color='k')

# Add a title

plt.title('f(x) = exp(-x)', fontsize=20)

# Add X and y Label

plt.xlabel('x', fontsize=16)

plt.ylabel('f(x)', fontsize=16)

# Add a grid

plt.grid(alpha=.4, linestyle='--')

# Show the plot

plt.show()

####################

# f(x) = x^z graph #

####################

import matplotlib.pyplot as plt

import numpy as np

# Create x and y

x = np.linspace(0, 2, 100)

y1 = x**1.3

y2 = x**2.5

y3 = x**3.8

# Create the plot

fig, ax = plt.subplots()

plt.plot(x, y1, label='f(x) = x^1.3', linewidth=3, color='palegreen')

plt.plot(x, y2, label='f(x) = x^2.5', linewidth=3, color='yellowgreen')

plt.plot(x, y3, label='f(x) = x^3.8', linewidth=3, color='olivedrab')

# Make the x=0, y=0 thicker

ax.set_aspect('equal')

ax.grid(True, which='both')

ax.axhline(y=0, color='k')

ax.axvline(x=0, color='k')

# Add a title

plt.title('f(x) = x^z', fontsize=20)

# Add X and y Label

plt.xlabel('x', fontsize=16)

plt.ylabel('f(x)', fontsize=16)

# Add a grid

plt.grid(alpha=.4, linestyle='--')

# Add a Legend

plt.legend(bbox_to_anchor=(1, 1), loc='best', borderaxespad=1, fontsize=12)

# Show the plot

plt.show()

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# f(x) = x^(3.8)*e^(-x) graph #

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import matplotlib.pyplot as plt

import numpy as np

# Create x and y

x = np.linspace(0, 20, 100)

y = x**3.8 * np.exp(-x)

# Create the plot

fig, ax = plt.subplots()

plt.plot(x, y, label='f(x) = x^(3.8) * np.exp(-x)', linewidth=3, color='palegreen')

ax.fill_between(x, 0, y, color='yellowgreen')

# Make the x=0, y=0 thicker

ax.set_aspect('equal')

ax.grid(True, which='both')

ax.axhline(y=0, color='k')

ax.axvline(x=0, color='k')

# Add a title

plt.title('f(x) = x^(3.8)*e^(-x) ', fontsize=20)

# Add X and y Label

plt.xlabel('x', fontsize=16)

plt.ylabel('f(x)' ,fontsize=16)

# Add a grid

plt.grid(alpha=.4, linestyle='--')

# Add a Legend

plt.legend(bbox_to_anchor=(1, 1), loc='upper right', borderaxespad=1, fontsize=12)

# Show the plot

plt.show()

5.伽瑪函數屬性

如果您從這篇文章中刪除一件事，應該是本節。

> 給定z> 1 Γ(z)=(z-1)*Γ(z-1) 或將其寫為 Γ(z + 1)= z *Γ(z)

讓我們使用部分集成和Gamma函數的定義來證明它.

如果n是一個正整數 C(n)=(n-1)！

什么是Γ(1) ？

因此，Γ(n)=(n-1)！

您可能還已經看到表達式Γ(n + 1)= n！而不是 Γ(n)=(n-1)！。 這只是使右手邊n！，而不是(n-1)！ 我們所做的就是將n移1。

6.使用Gamma函數的屬性，顯示Gamma分布的PDF積分為1。

快速回顧一下Gamma“分布”(不是Gamma“函數”！)：Gamma分布直覺和推導。 證明如下：

問答：伽瑪功能多大了？ 很老。大約300年。(您是否正在研究將在300年后使用的東西？；) 有趣的旁注：歐拉(Euler)在64歲時失明，但是在失明后他完成了近一半作品。

一些有趣的價值觀： C(1/2)=平方( ) 許多有趣的方式來表明這一點： Γ(1/2) = sqrt( ) Γ(-1) = Γ(-2) = Γ(-3) = infinity 你能證明這些嗎？ 3.這是快速查看Gamma函數圖的實數。

伽馬函數Γ(z)用藍色繪制，而Γ(z)+ sin(πz)用綠色繪制。(請注意正整數處的交點，因為sin(πz)為零！)兩者都是對非整數的階乘分解的有效解析延續。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的python怎么用gamma函数_如何通俗的理解伽马(gamma)函数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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