python汉诺塔递归算法_Python文摘：汉诺塔问题与递归算法
歷史傳說：
在世界中心貝拿勒斯（在印度北部）的圣廟里，一塊黃銅板上插著三根寶石針。印度教的主神梵天在創(chuàng)造世界的時(shí)候，在其中一根針上從下到上地穿好了由大到小的64片金片，這就是所謂的漢諾塔。不論白天黑夜，總有一個(gè)僧侶在按照下面的法則移動這些金片：一次只移動一片，不管在哪根針上，小片必須在大片上面。僧侶們預(yù)言，當(dāng)所有的金片都從梵天穿好的那根針上移到另外一根針上時(shí)，世界就將在一聲霹靂中消滅，而梵塔、廟宇和眾生也都將同歸于盡。
不管這個(gè)傳說的可信度有多大，如果考慮一下把64片金片，由一根針上移到另一根針上，并且始終保持上小下大的順序。這需要多少次移動呢?這里需要遞歸的方法。假設(shè)有n片，移動次數(shù)是f(n).顯然f⑴=1,f⑵=3,f⑶=7，且f(k+1）=2*f(k)+1。此后不難證明f(n)=2^n-1。n=64時(shí)，f（64）= 2^64-1=18446744073709551615。假如每秒鐘一次，共需多長時(shí)間呢？一個(gè)平年365天有 31536000 秒，閏年366天有31622400秒，平均每年31556952秒，計(jì)算一下，18446744073709551615/31556952=584554049253.855年
這表明移完這些金片需要5845億年以上，而地球存在至今不過45億年，太陽系的預(yù)期壽命據(jù)說也就是數(shù)百億年。真的過了5845億年，不說太陽系和銀河系，至少地球上的一切生命，連同梵塔、廟宇等，都早已經(jīng)灰飛煙滅。
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漢諾塔問題的限制條件：
1.在小圓盤上不能放大圓盤。
2.在三根柱子之間一回只能移動一個(gè)圓盤。
3.只能移動在最頂端的圓盤。
首先，我們從簡單的例子開始分析，然后再總結(jié)出一般規(guī)律。
當(dāng)n = 1的時(shí)候，即此時(shí)只有一個(gè)盤子，那么直接將其移動至C即可。移動過程就是 A -> C
當(dāng)n = 2的時(shí)候，這時(shí)候有兩個(gè)盤子，那么在一開始移動的時(shí)候，我們需要借助B柱作為過渡的柱子，即將A柱最上面的那個(gè)小圓盤移至B柱，然后將A柱底下的圓盤移至C柱，最后將B柱的圓盤移至C柱即可。那么完整移動過程就是A -> B , A -> C , B -> C
當(dāng)n = 3的時(shí)候，那么此時(shí)從上到下依次擺放著從小到大的三個(gè)圓盤，根據(jù)題目的限制條件：在小圓盤上不能放大圓盤，而且把圓盤從A柱移至C柱后，C柱圓盤的擺放情況和剛開始A柱的是一模一樣的。所以呢，我們每次移至C柱的圓盤（移至C柱后不再移到其他柱子上去），必須是從大到小的，即一開始的時(shí)候，我們應(yīng)該想辦法把最大的圓盤移至C柱，然后再想辦法將第二大的圓盤移至C柱......然后重復(fù)這樣的過程，直到所有的圓盤都按照原來A柱擺放的樣子移動到了C柱。
那么根據(jù)這樣的思路，問題就來了：
如何才能夠?qū)⒆畲蟮谋P子移至C柱呢？
那么我們從問題入手，要將最大的盤子移至C柱，那么必然要先搬掉A柱上面的n-1個(gè)盤子，而C柱一開始的時(shí)候是作為目標(biāo)柱的，所以我們可以用B柱作為"暫存"這n-1個(gè)盤子的過渡柱，當(dāng)把這n-1的盤子移至B柱后，我們就可以把A柱最底下的盤子移至C柱了。
而接下來的問題是什么呢？
我們來看看現(xiàn)在各個(gè)柱子上盤子的情況，A柱上無盤子，而B柱從上到下依次擺放著從小到大的n-1個(gè)盤子，C柱上擺放著最大的那個(gè)盤子。
所以接下來的問題就顯而易見了，那就是要把B柱這剩下的n-1個(gè)盤子移至C柱，而B柱作為過渡柱，那么我們需要借助A柱，將A柱作為新的"過渡"柱，將這n-1個(gè)盤子移至C柱。
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作者：Adherer
來源：CSDN
原文：https://blog.csdn.net/liujian20150808/article/details/50793101
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該問題可以分解成以下子問題：
第一步：將n-1個(gè)盤子從A柱移動至B柱（借助C柱為過渡柱）
第二步：將A柱底下最大的盤子移動至C柱
第三步：將B柱的n-1個(gè)盤子移至C柱（借助A柱為過渡柱）
解：（1）n == 1
第1次 1號盤 A---->C sum = 1 次
(2) n == 2
第1次 1號盤 A---->B
第2次 2號盤 A---->C
第3次 1號盤 B---->C sum = 3 次
（3）n == 3
第1次 1號盤 A---->C
第2次 2號盤 A---->B
第3次 1號盤 C---->B
第4次 3號盤 A---->C
第5次 1號盤 B---->A
第6次 2號盤 B---->C
第7次 1號盤 A---->C sum = 7 次
不難發(fā)現(xiàn)規(guī)律：1個(gè)圓盤的次數(shù) 2的1次方減1
2個(gè)圓盤的次數(shù) 2的2次方減1
3個(gè)圓盤的次數(shù) 2的3次方減1
。 。 。 。 。
n個(gè)圓盤的次數(shù) 2的n次方減1
故：移動次數(shù)為：2^n - 1
n的階乘問題
再說一個(gè)例子：計(jì)算n的階乘
f(n) = n!
其遞歸算法如下：
int factorial(int n){
if(n == 1)
return 1;
else
return n * factorial(n-1);
}
這段程序加載到內(nèi)存的分配圖如下：
（圖片來源于“碼農(nóng)翻身”公眾號）
由于遞歸是函數(shù)自身調(diào)用自身，所以程序被編譯后代碼段中只有一份代碼。遞歸調(diào)用是如何進(jìn)行的呢？注意看堆棧中的棧幀啊， 每個(gè)棧幀就代表了被調(diào)用中的一個(gè)函數(shù)， 這些函數(shù)棧幀以先進(jìn)后出的方式排列起來，就形成了一個(gè)棧， 棧幀的結(jié)構(gòu)如下圖所示：
（圖片來源于“碼農(nóng)翻身”公眾號）
相信大家還記得《數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)》（嚴(yán)蔚敏版）一書中提到的“工作記錄”就是指函數(shù)棧幀。棧頂指針被稱為“當(dāng)前環(huán)境指針”。忽略到其他內(nèi)容， 只關(guān)注輸入?yún)?shù)和返回值的話，階乘函數(shù)factorial（4）的工作棧如下圖所示：
（圖片來源于“碼農(nóng)翻身”公眾號）
其計(jì)算過程如下圖所示：
（圖片來源于“碼農(nóng)翻身”公眾號）
注意， 每個(gè)遞歸函數(shù)必須得有個(gè)終止條件， 要不然就會發(fā)生無限遞歸了， 永遠(yuǎn)都出不來了。
當(dāng)然針對于此遞歸算法，對于n的值是有限制的。因?yàn)槎褩Ｈ萘渴怯邢薜?#xff0c;如果n值太大程序會崩掉。
該如何解決呢？從上面的代碼中可以知道“factorial(n) = n * factorial(n-1 )” ，這個(gè)計(jì)算式是整個(gè)程序的核心。 圖中每個(gè)棧幀都需要記錄下當(dāng)前的n的值， 還要記錄下一個(gè)函數(shù)棧幀的返回值， 然后才能運(yùn)算出當(dāng)前棧幀的結(jié)果。 也就是說使用多個(gè)棧幀是不可避免的。
可以使用下面的遞歸算法：
int factorial(int n,int result){
if(n == 1){
return result;
}
else{
return factorial(n-1,n * result);
}
}
注意函數(shù)的最后一個(gè)語句， 就不是 n * factorial(n-1) 了， 而是直接調(diào)用factorial(....) 這個(gè)函數(shù)本身， 這就帶來了巨大的好處。
計(jì)算過程如下：
當(dāng)執(zhí)行到factorial(1, 24)的時(shí)候直接就可以返回結(jié)果了。這就是妙處所在了，計(jì)算機(jī)發(fā)現(xiàn)這種情況，只用一個(gè)棧幀就可以搞定這些計(jì)算，無論n有多大。
（圖片來源于“碼農(nóng)翻身”公眾號）
這就是所謂的“尾遞歸”了， 當(dāng)遞歸調(diào)用是函數(shù)體中最后執(zhí)行的語句并且它的返回值不屬于表達(dá)式一部分時(shí)， 這個(gè)遞歸就是尾遞歸。
現(xiàn)代的編譯器就會發(fā)現(xiàn)這個(gè)特點(diǎn)， 生成優(yōu)化的代碼， 復(fù)用棧幀。 第一個(gè)算法中因?yàn)橛袀€(gè)n * factorial(n-1) , 雖然也是遞歸，但是遞歸的結(jié)果處于一個(gè)表達(dá)式中，還要做計(jì)算， 所以就沒法復(fù)用棧幀了，只能一層一層的調(diào)用下去。
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的python汉诺塔递归算法_Python文摘：汉诺塔问题与递归算法的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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