什么是遞歸

百度百科：程序調用自身的編程技巧稱為遞歸（ recursion）。

借用知乎上Memoria的回答：

假設你在一個電影院，你想知道自己坐在哪一排，但是前面人很多，你懶得去數了，于是你問前一排的人「你坐在哪一排？」，這樣前面的人 (代號 A) 回答你以后，你就知道自己在哪一排了——只要把 A 的答案加一，就是自己所在的排了。不料 A 比你還懶，他也不想數，于是他也問他前面的人 B「你坐在哪一排？」，這樣 A 可以用和你一模一樣的步驟知道自己所在的排。然后 B 也如法炮制。直到他們這一串人問到了最前面的一排，第一排的人告訴問問題的人「我在第一排」。最后大家就都知道自己在哪一排了。

遞歸問題分析的核心

一個合法的遞歸定義包含兩個部分：基礎情況和遞歸部分。

分析一個遞歸問題就是列出遞歸定義表達式的過程。
上面那個電影院排數的問題表達式可以列為：

f(n)={1,f(n?1)+1,n= 1n>1

幾個經典題目

斐波那契數列

斐波那契數列的排列是：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……依次類推下去，你會發現，它后一個數等于前面兩個數的和。在這個數列中的數字，就被稱為斐波那契數。

遞歸思想：一個數等于前兩個數的和。(這并不是廢話，這是執行思路)

首先分析數列的遞歸表達式：

f(n)={n,f(n?1)+f(n?2),n<= 1n>1

代碼如下:

/*** 斐波那契數列的遞歸寫法* 核心：一個小的解決終點，然后大的問題可以循環在小問題上解決* @param n* @return*/ long F(int n){if (n<=1) return n;return F(n-1)+F(n-2); }/*** 斐波那契數列的遞推寫法* @param n* @return*/ long F1(int n){if (n<=1) return n;long fn = 0;long fn_1 = 1;long fn_2 = 0;for (int i = 2; i <= n; i++) {fn = fn_1 + fn_2;fn_2 = fn_1;fn_1 = fn;}return fn; }

可以看到，遞歸寫法簡單優美，省去考慮很多邊界條件的時間。當然，遞歸算法會保存很多的臨時數據，類似于堆棧的過程，如果棧深太深，就會造成內存用盡，程序崩潰的現象。Java為每個線程分配了棧大小，如果棧大小溢出，就會報錯，這時候還是選擇遞推好一點。

觀察下面的執行過程也會發現，本程序并沒有保存每次的運算結果，第三行的F(7)就執行了兩次，下層的F(1),F(2)的次數更是指數級增長。這也是本程序的一個弊端。

斐波那契執行過程：

階乘

遞歸思想：n! = n * (n-1)! (直接看公式吧)

首先分析數列的遞歸表達式：

f(n)={1,f(n?1)?n,n<= 1n>1

代碼如下:

long factorial(int n){if (n <=1) return 1;return j(n-1)*n; }

執行過程如下：

倒序輸出一個正整數

例如給出正整數 n=12345，希望以各位數的逆序形式輸出，即輸出54321。

遞歸思想：首先輸出這個數的個位數，然后再輸出前面數字的個位數，直到之前沒數字。

首先分析數列的遞歸表達式：

f(n)={print(n%10),print(n%10);f(n/10),n< 10n>=10

代碼如下:

/*** 倒序輸出正整數的各位數* @param n*/ void printDigit(int n){System.out.print(n%10);if (n > 10){printDigit(n/10);} }

漢諾塔

超經典了的遞歸解決問題了：

法國數學家愛德華·盧卡斯曾編寫過一個印度的古老傳說：在世界中心貝拿勒斯（在印度北部）的圣廟里，一塊黃銅板上插著三根寶石針。印度教的主神梵天在創造世界的時候，在其中一根針上從下到上地穿好了由大到小的64片金片，這就是所謂的漢諾塔。不論白天黑夜，總有一個僧侶在按照下面的法則移動這些金片：一次只移動一片，不管在哪根針上，小片必須在大片上面。僧侶們預言，當所有的金片都從梵天穿好的那根針上移到另外一根針上時，世界就將在一聲霹靂中消滅，而梵塔、廟宇和眾生也都將同歸于盡。

數學描述就是：

有三根桿子X，Y，Z。X桿上有N個(N>1)穿孔圓盤，盤的尺寸由下到上依次變小。要求按下列規則將所有圓盤移至Y桿：
1. 每次只能移動一個圓盤；
2. 大盤不能疊在小盤上面。

遞歸思想：
1. 將X桿上的n-1個圓盤都移到空閑的Z桿上，并且滿足上面的所有條件
2. 將X桿上的第n個圓盤移到Y上
3. 剩下問題就是將Z桿上的n-1個圓盤移動到Y上了

公式描述有點麻煩，用語言描述下吧：
1. 以Y桿為中介，將前n-1個圓盤從X桿挪到Z桿上(本身就是一個n-1的漢諾塔問題了！)
2. 將第n個圓盤移動到Y桿上
3. 以X桿為中介，將Z桿上的n-1個圓盤移到Y桿上(本身就是一個n-1的漢諾塔問題了！)

代碼如下：

/*** 漢諾塔* 有柱子 x z y，最終將x上的n個圓盤借助z移動到y上* 遞歸思想：* 1.將x上的n-1個放入到z上，借助y* 2.將x上的n圓盤放到y上* 3.將z上的n-1個圓盤放入y* @param n* @param from* @param tmp* @param to*/ void hanoi(int n,char from,char tmp,char to){if (n>0) {hanoi(n - 1, from, to, tmp);System.out.println("take " + n + " from " + from + " to " + to);hanoi(n - 1, tmp, from, to);} }

執行過程：

如果一秒鐘移動一次，世界毀滅需要多長時間呢？5845.54億年以上，而地球存在至今不過45億年，地球現在還是很安全的。

排列問題

輸入一個字符串，打印出該字符串中字符的所有排列。例如輸入字符串abc，則輸出由字符a、b、c所能排列出來的所有字符串abc、acb、bac、bca、cab和cba。

遞歸思想：
假如針對abc的排列，可以分成 (1)以a開頭，加上bc的排列 (2)以b開頭，加上ac的排列 (3)以c開頭，加上ab的排列

/*** 產生排列組合的遞歸寫法* @param t 數組* @param k 起始排列值* @param n 數組長度*/ void pai(int[] t, int k, int n){if (k == n-1){//輸出這個排列for (int i = 0; i < n; i++) {System.out.print(t[i] + " ");}System.out.println();}else {for (int i = k; i < n; i++) {int tmp = t[i]; t[i] = t[k]; t[k] = tmp;//一次挑選n個字母中的一個,和前位置替換pai(t, k+1, n); //再對其余的n-1個字母一次挑選tmp = t[i]; t[i] = t[k]; t[k] = tmp; //再換回來}} }

本題用遞歸算法很巧妙，省去了用普通方法時保存數據狀態的繁瑣操作！

總結

以上是生活随笔為你收集整理的递归整理及几个经典题目的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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