我為什么現(xiàn)在要學(xué)平面圖
因?yàn)轫樓蠬NOI2010遇到了平面圖判定…

————————————–線割分是我>w<————————————————–

首先是一些定義:

什么是平面圖?
對于一個圖G=< V,E >,如果能把G畫在一個平面上,且畫出的圖的任意兩條邊除了V中的節(jié)點(diǎn)沒有其他交點(diǎn),則圖G為平面圖.
平面圖的面:
對于一個平面圖,由如果存在一些邊圍成的區(qū)域,且這個區(qū)域內(nèi)不包含這個圖的點(diǎn)和邊,那么我們稱這個區(qū)域?yàn)樵撈矫鎴D的一個面.
比如這里面的紅色區(qū)域:

對于包圍這個區(qū)域的那些邊構(gòu)成的圈,我們稱之為這個面的邊界.邊界的長度,稱為這個面的度.
我們定義一個面的集合F,于是對于平面圖我們可以將其表示為G=< V,E,F >
平面圖的性質(zhì)(具體內(nèi)容及證明見國家集訓(xùn)隊(duì)2003論文劉才良《平面圖在信息學(xué)中的應(yīng)用》):

1.若圖G=< V,E,F >為連通平面圖, ∑f∈F?d(f)??=2|E|
2.若圖G=< V,E,F >為連通平面圖, |V|?|E|+|F|=2

當(dāng)然,對于不連通的平面圖,我們可以把它分解成幾個聯(lián)通塊,然后對每個聯(lián)通塊這兩個性質(zhì)都成立(這是很顯然的),所以就可以得到對不連通的平面圖的一些性質(zhì).這里我不再贅述.
從上面兩個性質(zhì)又可以得到如下推論:

對于給定的連通簡單平面圖G=< V,E,F >,若|V|>=3,則|E|<=3|V|-6,|F|<=2|V|-4

原文的第二個推論我覺得好像有問題我不貼了,反正第二個好像也沒用
第一個推論的作用就是告訴我們E的數(shù)量級是O(|V|)的…

平面圖的判定(才不會說我就是因?yàn)檫@個才學(xué)平面圖的):
做法轉(zhuǎn)自這里

哈密頓回路會連成一個環(huán)，這個圖必定被分成兩部分，如果兩條邊相交無論同時在內(nèi)還是在外都會相交，只有一條在環(huán)內(nèi)一條在外才行——二分圖！首先判斷出那些邊不再回路上然后把有矛盾的邊連邊利用染色法判斷能否構(gòu)成二分圖，二分圖的成立決定了平面圖的成立。

接下來是重點(diǎn):平面圖與對偶圖
定義:對于一個平面圖,如果它有源點(diǎn)匯點(diǎn),我們稱之為s-t平面圖.
每個平面圖都能建出相應(yīng)的對偶圖.
對于一個平面圖G,其對偶圖為G*.G*中的一個點(diǎn),對應(yīng)原圖G中的一個面.
對于G中的每條邊e,如果e屬于兩個面 f1,f2 ,那么我們在G*中對點(diǎn) f1?,f2? 連一條邊;
如果e只屬于一個面f,那么在G*中對點(diǎn) f?,f? 連一條自環(huán)邊.
此時有定理:

1.G的面數(shù)等于G*的點(diǎn)數(shù),G與G*的邊數(shù)相等.
2.對于一個s-t平面圖,其對偶圖中的一個環(huán)對應(yīng)原圖中的一個割.

此時就可以看出我們引入平面圖與對偶圖有什么作用了.
我們都知道求最大流的算法與最短路算法在效率上有不小的差距.
當(dāng)我們看到一個題數(shù)據(jù)范圍極大但是像是最大流,卻又擔(dān)心單純的寫最大流會TLE的時候
如果原圖滿足是平面圖,我們不妨先轉(zhuǎn)化為求最小割,然后再建出其對偶圖然后求解.
對對偶圖跑一遍Heap-Dijkstra,利用它求出的距離來做距離標(biāo)號,構(gòu)造最大流.
具體題目我好像只知道BeiJing2006 狼與兔子QAQ
之后單獨(dú)寫題解

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【平面图理论】平面图学习笔记的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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