作者簡(jiǎn)介：
Treant?人工智能愛好者社區(qū)專欄作者
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引言

PageRank是Sergey Brin與Larry Page于1998年在WWW7會(huì)議上提出來的，用來解決鏈接分析中網(wǎng)頁排名的問題。在衡量一個(gè)網(wǎng)頁的排名，直覺告訴我們：

當(dāng)一個(gè)網(wǎng)頁被更多網(wǎng)頁所鏈接時(shí)，其排名會(huì)越靠前；

排名高的網(wǎng)頁應(yīng)具有更大的表決權(quán)，即當(dāng)一個(gè)網(wǎng)頁被排名高的網(wǎng)頁所鏈接時(shí)，其重要性也應(yīng)對(duì)應(yīng)提高。

對(duì)于這兩個(gè)直覺，PageRank算法所建立的模型非常簡(jiǎn)單：一個(gè)網(wǎng)頁的排名等于所有鏈接到該網(wǎng)頁的網(wǎng)頁的加權(quán)排名之和：

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表示i個(gè)網(wǎng)頁的PageRank值，用以衡量每一個(gè)網(wǎng)頁的排名；若排名越高，則其PageRank值越大。網(wǎng)頁之間的鏈接關(guān)系可以表示成一個(gè)有向圖

，邊

代表了網(wǎng)頁j鏈接到了網(wǎng)頁i；

為網(wǎng)頁j的出度，也可看作網(wǎng)頁j的外鏈數(shù)（ the number of out-links）。

假定

為n維PageRank值向量，A為有向圖G所對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)移矩陣，

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n個(gè)等式（1）改寫為矩陣相乘：

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但是，為了獲得某個(gè)網(wǎng)頁的排名，而需要知道其他網(wǎng)頁的排名，這不就等同于“是先有雞還是先有蛋”的問題了么？幸運(yùn)的是，PageRank采用power iteration方法破解了這個(gè)問題怪圈。欲知詳情，請(qǐng)看下節(jié)分解。

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求解

為了對(duì)上述及以下求解過程有個(gè)直觀的了解，我們先來看一個(gè)例子，網(wǎng)頁鏈接關(guān)系圖如下圖所示：

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那么，矩陣A即為

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所謂power iteration，是指先給定一個(gè)P的初始值

，然后通過多輪迭代求解:

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最后收斂于

，即差別小于某個(gè)閾值。我們發(fā)現(xiàn)式子（2）為一個(gè)特征方程（characteristic equation），并且解P是當(dāng)特征值（eigenvalue）為1時(shí)的特征向量（eigenvector）。為了滿足（2）是有解的，則矩陣AA應(yīng)滿足如下三個(gè)性質(zhì)：

• stochastic matrix，則行至少存在一個(gè)非零值，即必須存在一個(gè)外鏈接（沒有外鏈接的網(wǎng)頁被稱為dangling pages）；
• 不可約（irreducible），即矩陣A所對(duì)應(yīng)的有向圖G必須是強(qiáng)連通的，對(duì)于任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)u,v∈V，存在一個(gè)從u到v的路徑；
• 非周期性（aperiodic），即每個(gè)節(jié)點(diǎn)存在自回路。

顯然，一般情況下矩陣A這三個(gè)性質(zhì)均不滿足。為了滿足性質(zhì)stochastic matrix，可以把全為0的行替換為e/ne/n，其中e為單位向量；同時(shí)為了滿足性質(zhì)不可約、非周期，需要做平滑處理：

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其中，d為 damping factor，常置為0與1之間的一個(gè)常數(shù)；E為單位陣。那么，式子（1）被改寫為

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參考資料

[1] Bing Liu and Philip S. Yu, "The Top Ten Algorithms in Data Mining" Chapter 6.

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往期回顧：

【十大經(jīng)典數(shù)據(jù)挖掘算法】C4.5

【十大經(jīng)典數(shù)據(jù)挖掘算法】k-means

【十大經(jīng)典數(shù)據(jù)挖掘算法】SVM

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【從傳統(tǒng)方法到深度學(xué)習(xí)】圖像分類

編輯于 17:17

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【十大经典数据挖掘算法】PageRank的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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