????????因為以前從來沒接觸過數論，小學也沒搞過奧數，而且數論這東西又挺重要的，不只是比賽，有些東西基本算是常識需要知道的。而且內容還很雜。所以決定好好寫一篇博客，包括知識點和自己的理解。

目錄

0.特殊性質

一.分解質因數和算術基本定理

如何分解質因數

二.判斷素數 和素數篩（埃篩和歐拉篩）

素數判斷

素數篩法

三.約數

一個數的所有約數

約數個數?

約數之和

最大公約數GCD

四.歐拉函數和歐拉函數篩及歐拉定理

求一個數的歐拉函數

歐拉函數篩

歐拉定理

費馬小定理

---

0.特殊性質

平常寫題會碰到的一些特殊性質。

整除性質：

1、若b|a，c|a，且b和c互質，則bc|a。

2、對任意非零整數a，±a|a=±1。

3、若a|b，b|a，則|a|=|b|。

4、如果a能被b整除，c是任意整數，那么積ac也能被b整除。

5、如果a同時被b與c整除，并且b與c互質，那么a一定能被積bc整除，反過來也成立。

6、對任意整數a，b>0，存在唯一的數對q，r，使a=bq+r，其中0≤r<b，這個事實稱為帶余除法定理，是整除理論的基礎。

7、公因數一定整除最大公因數。

8.d|a,d|b 則d|ax+by。

9.整除的傳遞性。若a|b b|c 則a|c。

1.定理：兩數最大公約數與最小公倍數的積等于兩數之積?

所以互質的兩數乘積就是最小公倍數。

2.

一.分解質因數和算術基本定理

? ? ? ?① 惟一分解定理 (算術基本定理)?可表述為：任何一個大于1的自然數?N,如果N不為質數，那么N可以唯一分解成有限個質數的乘積N=，這里P1<P2<P3......<Pn均為質數，其中指數ai是正整數。這樣的分解稱為?N?的標準分解式。

? ? ? ? ②質因數（素因數或質因子）在數論里是指能整除給定正整數的質數。除了1以外，兩個沒有其他共同質因子的正整數稱為互質。因為1沒有質因子，1與任何正整數（包括1本身）都是互質。正整數的因數分解可將正整數表示為一連串的質因子相乘，質因子如重復可以用指數表示。根據算術基本定理，任何正整數皆有獨一無二的質因子分解式??。只有一個質因子的正整數為質數。

如何分解質因數

分解質因數，也就是將n表示為標準分解式。所以我們要求出質因數和對應的指數。

試除法：

為什么只要枚舉到sqrt(n)就行呢？

因為超過sqrt(n)的部分基本沒有意義，因為如果存在多個大于sqrt(n)的質因數，根據惟一分解定理，n由這些數相乘組成，那么多個大于sqrt(n)的質因數相乘就超過了n，矛盾。

所以最多只會有一個大于sqrt(n)的質因數，所以當枚舉到sqrt(n)時剩下的數不等于1，那么說明還剩下這個大于sqrt(n)的質因數。額外加上即可。

vector<pair<int,int>> div(int n){vector<pair<int,int>> ans; //因為惟一分解定理，合數也是由多個質數組成，合因數組成的較小質數會被先分解，所以每次得到的必定是質因數for(int j=2;j<=n/j;j++){//除凈小于sqrt(n)的質因數int sum=0;while(n%j==0){//除凈質因數n/=j;sum++;//該質因數的指數}if(sum!=0)ans.push_back({j,sum});}if(n>1)//大于sqrt(n)的質因數只會有一個，如果有多個，分解定理的乘積就大于n了ans.push_back({n,1});return ans; }unordered_map<int,int> div(int n){//得到質因數unordered_map<int,int>ans;for(int j=2;j<=n/j;j++){if(n%j==0){while(n%j==0){n/=j;ans[j]++;} }}if(n>1)ans[n]++;return ans; }

參考：

數學數論相關 - ternary_tree 的博客 - 洛谷博客 (luogu.org)

二.判斷素數 和素數篩（埃篩和歐拉篩）

素數判斷

·????????根據素數的定義，只含有1和本身的因數的數被稱為素數，由此定義枚舉小于這個數的所有數，如果出現能夠整除的，說明這個數不是質數。

注意：此處只需要枚舉到sqrt(k)。

因為 若 i | k，則 k/i | k

所以i如果不是因數，那么k/i也不是，最多到sqrt(k)，超過這個范圍就沒有意義了。

O(sqrt(n))

此處兩數相乘采用逆元，可以防止爆int

int is_prime(int k) {//判斷k是否是質數int ok = 1;if (k < 2)return 0;for (int j = 2; j <= k / j; j++) {//枚舉到sqrt(k)if (k % j == 0) {ok = 0;return 0;}}return 1; }

?素數篩法

P3383 【模板】線性篩素數 - 洛谷 | 計算機科學教育新生態 (luogu.com.cn)

? ? ? ? 1.埃篩的思想比較簡單，一個數的所有倍數都不可能是質數所以，枚舉當前數的范圍內所有倍數，將他們刪去，剩下的都是質數。同時可以簡單優化一下，由惟一分解定理，只需要篩去質數，合數也就會被順帶篩去。所以枚舉質數的倍數即可。優化后復雜度O(nloglog)

? ? ? ? 2.歐拉篩也叫做線性篩。他保證每次篩的時候只會通過一個質因數將一個合數篩去，而不像埃篩那樣重復篩同一個數好多次。

其主要的優化有兩方面：

①每次只枚舉質數的倍數。

②保證prime[i]是某個被篩去的合數的最小質因數.

重點在第二點。因為我們是從小到大枚舉的質數，那么當第一次滿足判斷的數j,j%prime[i]==0那么這個prime[i]就是j的最小質因數，同時也是prime[i]*j的最小質因數。同時，因為prime[i]是j的最小質因數，那么prime[i]也會是之后prime[i+1~size]*j這些合數的最小質因數。

原理：歐拉篩篩素數 - 學委 的博客 - 洛谷博客 (luogu.com.cn)

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #pragma warning(disable:4996); //#define int long long #define rep(j,b,e) for(int j=(b);j<=(e);j++) #define drep(j,e,b) for(int j=(e);j>=(b);j--) const int N = 1e8 + 10; int T = 1; int n, m, k; int gcd(int a, int b) {return a % b == 0 ? b : gcd(b, a % b); } vector<int>prime; int NotisPrime[N];//1表示不是一個質數 void GetPrime_Era(int n) {//會多次標記同一個值rep(j, 2, n) {if (NotisPrime[j] == 0) {//如果是質數prime.push_back(j);for (int i = j; i <= n/j; i++)//質數的倍數全是合數,逆元寫成/j防止爆intNotisPrime[i * j] = 1;}} } void GetPrime_Ola(int n) {//效率更高，一個數只會被他的最小質因數篩掉rep(j, 2, n) {if (NotisPrime[j] == 0)//篩完還是素數就加入prime.push_back(j);for (int i = 0; i < prime.size() && prime[i] <= n/j; i++) {//逆元枚舉質數，篩pi*jNotisPrime[j * prime[i]] = 1;if (j % prime[i] == 0)break;//保證prime[i]是這個合數的最小質因數}} } signed main() { #ifndef ONLINE_JUDGEfreopen("out.txt", "w", stdout); #endifios::sync_with_stdio(0); cout.tie(0);int q;cin >> n >> q;GetPrime_Ola(n);rep(j, 1, q) {cin >> k;cout << prime[k - 1] << endl;} }

三.約數和公約數

一個數的所有約數

試除法

枚舉到sqrt(n) ，原理同判斷質數。

vector<int> div(int k){vector<int>ans;for(int j=1;j<=k/j;j++){if(k%j==0){ans.push_back(j);if(j!=k/j)ans.push_back(k/j);}}sort(ans.begin(),ans.end());//k的約數約有log個return ans; }

約數個數?

870. 約數個數 - AcWing題庫

本題是求一個很大乘積的約數，而這個很大的數不比表示出來，他的標準分解式就等于每個乘數的標準分解式的乘積。

由算術基本定理：

N=

一個數的約數個數 sum=?,也就是質因數指數+1的乘積。

因為算術基本定理，里面的質因數隨意組合得到的數都是N的約數，每個質因數有0-ai種選法，由乘法原理，總的選擇數為指數+1的乘積。

做法：

先對數N進行質因數分解，求出質因數和對應指數，然后求指數+1的乘積即可。

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int mod=1e9 +7; int main(){int n;cin>>n;unordered_map<int,int>prime;//質因數和指數while(n--){int k;cin>>k;for(int j=2;j<=k/j;j++){//分解質因數得到底數和指數while(k%j==0){k/=j;prime[j]++;}}if(k>1)prime[k]++;}long long ans=1;for(auto [p,cnt]:prime){ans=(ans*(cnt+1))%mod;//約數個數等于分解式的所有指數+1的乘積}cout<<ans<<endl; }

約數之和

871. 約數之和 - AcWing題庫

根約數個數的推導類似，所有質因數及其指數的排列組合構成所有的因數，所以約數和就是將每種組合都列出來然后相加，而提取公因式后可以得到

sum=

也就是所有質因數的所有指數的和的乘積

所以做法和約數個數很像，先分解質因數求出質因數和指數，然后寫出公式。

這里求一個質因數的所有指數的和有個簡便方法。

迭代 t=p*t+1

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int mod=1e9 +7; int main(){int n;cin>>n;unordered_map<int,int>prime;//質因數和指數while(n--){int k;cin>>k;for(int j=2;j<=k/j;j++){//分解質因數得到底數和指數while(k%j==0){k/=j;prime[j]++;}}if(k>1)prime[k]++;}long long ans=1;for(auto [p,cnt]:prime){long long t=1;while(cnt--)t=(p*t+1)%mod;//質因數所有指數的和ans=(ans*t)%mod;//求積}cout<<ans<<endl; }

最大公約數GCD

輾轉相除法：

如果

?且??則有

所以對于A和B的最大公約數，則會滿足? ?用取模加快減法運算

得到

int gcd(int a,int b){return b==0?a:gcd(b,a%b); }

?裴蜀定理

設??是不全為零的整數，則存在整數?, 使得?.

且gcd(a,b)是能得到的最小值，其他值全是gcd的倍數。

擴展歐幾里得算法

877. 擴展歐幾里得算法 - AcWing題庫

擴展歐幾里得算法是用來求解裴蜀定理中的x和y的。

好煩不會證明qwq

#include <iostream> #include <cstring> #include <algorithm>using namespace std; //a*b+b*y=gdc(a,b) int exgcd(int a,int b,int& x,int& y){if(b==0){x=1,y=0;return a;}int res=exgcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;return res; } int main() {int n;cin>>n;while (n -- ){int a,b,x,y;cin>>a>>b;exgcd(a,b,x,y);cout<<x<<" "<<y<<endl;} }

?線性同余方程

878. 線性同余方程 - AcWing題庫

線性同余方程：

得

由擴展歐幾里得，可得

的x，

又因為gcd(a,p) | (ax+by)

所以，如果b是gcd(a,p)的倍數，方程有解且解為方程的倍，反之無解。

所以先用gcd判斷有解后，使用擴展歐幾里得算法得到，然后擴大倍即可

#include <iostream> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; typedef long long LL;int n; int a,b,p; int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){if(b==0)//mod等于0相當于整除{//a*1+b*0=ax=1,y=0;return a;}int d=exgcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;return d; } int main() {cin >> n;while (n -- ){cin>>a>>b>>p;int x,y;int d=exgcd(a,p,x,y);//a*x=p*y+bif(b%d)cout<<"impossible"<<endl;else{x=(LL)x*(b/d)%p;cout<<x<<endl;}} }

四.歐拉函數和歐拉函數篩及歐拉定理

求一個數的歐拉函數

873. 歐拉函數 - AcWing題庫

?與N互質的數的個數稱為N的歐拉函數，記做phi[N]

歐拉函數值可以通過上表的公式得到，可以看到N的歐拉函數只與質因數有關，和指數無關。

證明依靠容斥定理，略。

可以做法就是先求出N的所有質因數，然后帶入公式

#include <iostream> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; unordered_map<int,int> div(int n){//得到質因數unordered_map<int,int>ans;for(int j=2;j<=n/j;j++)if(n%j==0)while(n%j==0){n/=j;ans[j]++;} if(n>1)ans[n]++;// 惟一一個大于sqrt(n) 的質因數不要遺漏return ans; } int main() {int n;cin >> n;while (n -- ){int k;cin >> k;auto ans=div(k);int res=k;for(auto&[prime,cnt]:ans){res=res/prime*(prime-1);//帶入公式，注意都是整除?？梢韵瘸齪rime，因為prime是質因數，N能正常prime，然后再乘prime-1保證精度不丟失}cout<<res<<endl;} }

歐拉函數篩

874. 篩法求歐拉函數 - AcWing題庫

可以根據線性篩的思路，得到質數，根據質數作為某個數的質因數進行篩。

根據公式可以推出，

①j為質數數，歐拉函數ola[j]=j-1，因為質數的質因子只有他本身，也可以認為質數之前的所有數都和他自己互質（公約數只為1）

②pi為質數，j為任意數,且pi是j的質因子

根據歐拉公式，pi*j和 j 的質因數無差別，只有pi的指數有差別歐拉函數和質因子指數無關，所有歐拉函數的差別僅在N上。

易得 ola[pi*j]=pi*ola[j]

③pi為質數，j為任意數，且pi不是j的質因子

根據歐拉公式，pi*j和j的標準分解式差距只在pi*j多一個pi。帶入歐拉公式

多一個pi*(pi-1)/pi=pi-1

易得 ola[pi*j]=(pi-1)*ola[j]

#include <bits/stdc++.h>using namespace std; int n; const int N = 1e6+10; vector<int>prime; int NotIsPrime[N]; long long ola[N]; long long get_ola(int n){ola[1]=1;//1的歐拉函數為1for(int j=2;j<=n;j++){if(NotIsPrime[j]==0){prime.push_back(j);ola[j]=j-1;//質數前面的所有數都與他互質}for(int i=0;i<(int)prime.size() and prime[i]<=n/j;i++){NotIsPrime[prime[i]*j]=1;if(j%prime[i]==0){ola[j*prime[i]]=prime[i]*ola[j];//pi是j的最小質因數，歐拉函數和質因數指數無關，大小只變化pi倍break;}else{ola[j*prime[i]]=ola[j]*(prime[i]-1);;//*prime[i]-1;//根據歐拉函數公式，乘上非質因數之后變化pi*((pi-1)/pi),也就是pi-1倍}}}return accumulate(ola,ola+n+1,0ll); } int main() {cin>>n;cout<<get_ola(n); }

歐拉定理

若 a和b互質，則?

證明：

設為與b互質的數的集合。

給集合每個數乘上一個a得到集合

，集合元素相乘，提取a，同時mod b

消去相同部分

費馬小定理

由歐拉定理，當b為質數時phi[b]=b-1

五.快速冪

快速冪的本質思路還是倍增，將冪表示為二進制即用二進制表示所有數。

例如3^5，5的二進制 101，可以看作2^0+2^2所以原式可以寫成?

所以用一個數存儲,到當前位是2的幾次方，如果該位為1，說明需要乘上。

注意快速冪防止爆int須先轉為long long在進行運算，不能運算完再強轉

int qpow(int a,int n){int ans=1;while(n){if(n&1==1)ans=((ll)ans*a)%mod;//當前位為1n>>=1;//移位a=((ll)a*a)%mod;//當前位是2的幾次方}return ans%mod; }

?快速冪求逆元

876. 快速冪求逆元 - AcWing題庫

也就是b與p互質（gcd(b,p)==1且保證同余p結果相同的情況下，用a乘上x表示a/b。x就叫b的逆元?。

由

將

兩邊同乘b，除a

得

?由費馬小定理，如果p為質數時

所以b與p互質且p為質數時逆元x=

又因為p為質數，b要與p互質只需要b不是p的整數倍即可。

所以p為質數時求b的逆元等效于求

使用快速冪

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int n; int a,p; #define ll long long ll qpow(int a,int b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=(ll)ans*a%p;b>>=1;a=(ll)a*a%p;}return ans%p; } int gcd(int a,int b){return b==0?a:gcd(b,a%b); } int main(){cin>>n;while(n--){cin>>a>>p;int res=qpow(a,p-2);if(a%p!=0){//（gcd(a,p)==1.p為質數，其他數若與他互質，只能不是p的整數倍cout<<res<<endl;}elsecout<<"impossible\n";} }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的简单数论入门和基础数学知识（未完）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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