問(wèn)題：若n個(gè)非負(fù)數(shù)之和為1，即∑xi=1，求證：∑x3i(1?xi)≤18

引理1：若∑xi=1，當(dāng)n≥3時(shí)，必有兩數(shù)之和小于34(｡･?･)ﾉ
證明唄：顯然xi+xj這樣的數(shù)對(duì)有C2n組，然后：

∑xi+xj=(x1+x2)+(x1+x3)+...=(n?1)?∑xi=n?1
由于 xi+xj這樣的數(shù)對(duì)有 C2n組，其平均值為 n?1C2n=2n，于是必有兩數(shù)之和小于 2n≤23<34.
沒(méi)毛病？

引理2：若兩個(gè)正數(shù)x,y，滿足x+y<34，那么有

(x+y)3?(x+y)4>[x3?x4]+[y3?y4]
證明：展開(kāi)之唄
?4x3y+6x2y2+4xy3?3x2y?3xy2<0?3(x+y)?(4x2+6xy+4y2)>0?3(x+y)?(4x2+8xy+4y2)>0?3(x+y)?4(x+y)2>0?(x+y)<34

ok證畢

引理3：n=2時(shí)原問(wèn)題成立
證明：一波導(dǎo)數(shù)過(guò)去肯定可以的，沒(méi)毛病

回到原問(wèn)題：
設(shè)f(x1,x2,...,xn)=∑x3i(1?xi)，不妨設(shè)x1≥x2≥...,≥xn，顯然由引理1，xn+xn?1<0.75，于是立馬用引理2有

f(x1,x2,...,xn)≤f(x1,x2,...,(xn?1+xn),0)
令 x1,x2,...,(xn?1+xn)從大到小重排得到 x(1)1,x(1)2,...,x(1)n?1,0，顯然其和依舊保持為1不變，那上式改寫(xiě)為：
f(x1,x2,...,xn)≤f(x(1)1,x(1)2,...,x(1)n?1,0)
由于和保持1不變，所以由引理1，知道只要 n≥3那么上述算法便可以繼續(xù)重復(fù)操作下去，直到 n=2，即有
f(x1,x2,...,xn)≤f(x(1)1,x(1)2,...,x(1)n?1,0)≤...≤f(x(n?2)1,x(n?2)2,0,...,0)
由引理3有 f(x1,x2,...,xn)≤f(x(n?2)1,x(n?2)2,0,...,0)≤18
等號(hào)在 (0.5,0.5,0...,0)處取得

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的不等式$\sum x_i^3(1-x_i)\leq\frac{1}{8}$的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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