一、?課題的確定

學(xué)生在三年級(jí)學(xué)過(guò)長(zhǎng)方形、正方形的面積計(jì)算，經(jīng)歷過(guò)從數(shù)方格的辦法得出面積計(jì)算公式的過(guò)程。因此，學(xué)生對(duì)于面積計(jì)算公式的推導(dǎo)有一定的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)基礎(chǔ)。基于上述考慮，我想完全放手讓學(xué)生去研究如何計(jì)算平行四邊形的面積。這對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)顯然是一個(gè)極大挑戰(zhàn)，他們會(huì)怎么研究呢？我忐忑不安又充滿期待。

二、?課題的布置與指導(dǎo)

1、第一天

面向全體學(xué)生布置研究任務(wù)：平行四邊形的面積怎樣計(jì)算？(要求學(xué)生不能看課本，不能上網(wǎng)查資料，也不能問(wèn)家長(zhǎng)，只能自己研究。)

2、第二天

收集學(xué)生的研究成果，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的研究成果有以下幾種：(1)平行四邊形的面積等于兩條鄰邊相乘，這種意見(jiàn)占了一大半；(2)平行四邊形的面積等于底乘高，全班只有5位同學(xué)得到這個(gè)結(jié)果。沒(méi)有同學(xué)去用數(shù)方格的方法去求平行四邊形的面積，大概嫌太麻煩吧。

對(duì)于提出平行四邊形的面積=鄰邊×鄰邊的同學(xué)，我建議他們不能只猜測(cè)，必須證明，讓所有的人信服。

3、第三天

多數(shù)同學(xué)證明平行四邊形的面積不等于鄰邊×鄰邊，應(yīng)等于底乘高，有一位同學(xué)提出平行四邊形的面積等于高乘高，有一位同學(xué)還堅(jiān)持平行四邊形的面積等于鄰邊×鄰邊。我只好引導(dǎo)他用數(shù)方格的方法證明看看。當(dāng)他數(shù)完后果然發(fā)現(xiàn)，不能用鄰邊×鄰邊計(jì)算平行四邊形面積。我把這位同學(xué)留在辦公室里，觀察他的研究思路，他冥思苦想了兩個(gè)小時(shí)，卻沒(méi)有一點(diǎn)眉目，我只好讓他在方格紙上畫(huà)了很多底相等，高不同的平行四邊形，讓他反復(fù)觀察、數(shù)出面積，找到面積與什么有關(guān)，又經(jīng)過(guò)3個(gè)多小時(shí)的努力，終于很疑惑的問(wèn)我：“平行四邊形的面積是不是與它的高和底有關(guān)？”我說(shuō)：“對(duì)，你的猜測(cè)很準(zhǔn)確，你再畫(huà)兩個(gè)高和底都相等的長(zhǎng)方形和平行四邊形，會(huì)發(fā)現(xiàn)什么？”只用了半個(gè)小時(shí)，他就很驚喜的告訴我：高和底都相等，長(zhǎng)方形和平行四邊形面積相等，所以平行四邊形面積=底×高。

4、第四天

大多數(shù)同學(xué)都能證明平行四邊形面積=底×高，他們證明的方法不同，好多方法是在我們正常的40分鐘課堂從來(lái)沒(méi)有出現(xiàn)過(guò)的，任何參考資料上都沒(méi)有的。

三、課堂精彩片段

師：孩子們，偉大的科學(xué)家牛頓說(shuō)過(guò)，“沒(méi)有大膽的猜想，就沒(méi)有偉大的發(fā)現(xiàn)”。這次，我們研究平行四邊形的面積正是從大膽的猜想啟航的。下面我們請(qǐng)二組的同學(xué)展示他們的研究成果。

曹原：大家還記得嗎？長(zhǎng)方形的面積等于什么？正方形的面積等于什么？長(zhǎng)方形和正方形的面積都是鄰邊×鄰邊。我就想：平行四邊形的面積是否也等于鄰邊×鄰邊？

我把兩根長(zhǎng)小棒和兩根短小棒拼在一起，成了一個(gè)長(zhǎng)方形，再把它稍微拉動(dòng)了一下，成了一個(gè)平行四邊形。它的面積跟原來(lái)差不多。“可是，”我又繼續(xù)朝著同一個(gè)方向拉伸，“可是如果它已經(jīng)不是原來(lái)的樣子，而是這個(gè)樣子了，面積都快成一條縫了，怎么會(huì)和先前長(zhǎng)方形的面積一樣呢？”于是用鄰邊×鄰邊的方法去求平行四邊形的面積是錯(cuò)誤的。

師：三組的同學(xué)對(duì)這個(gè)問(wèn)題也做了深入的研究，看他們研究的方法是否一樣。

周冠妤：平行四邊形的面積是否等于鄰邊×鄰邊，我做了一個(gè)平行四邊形的框架，這樣它們的邊不變，就可以拉出不同形狀的平行四邊形。

我把長(zhǎng)方形描在方格本上，又拉了幾個(gè)不同的平行四邊形，也描在方格本上，數(shù)了數(shù)圖形1的面積是70個(gè)方格，圖形2的面積是50個(gè)方格，圖形3的面積是38個(gè)方格，圖形4的面積是26個(gè)方格，平行四邊形的面積越來(lái)越小。如圖：

我的結(jié)論得出來(lái)了，事實(shí)證明：計(jì)算平行四邊形的面積是不能用鄰邊×鄰邊這種方法的。我的匯報(bào)完畢，謝謝大家。

師：孩子們，看來(lái)面對(duì)同一個(gè)問(wèn)題，每人開(kāi)啟智慧的方式是不一樣的，一組同學(xué)用事實(shí)、畫(huà)圖說(shuō)話，而另一組同學(xué)用數(shù)據(jù)說(shuō)話，這都是我們證明科學(xué)問(wèn)題常用的方法，值得借鑒。

師：有同學(xué)猜想：平行四邊形的面積=高×高，是否這樣呢？請(qǐng)一組的同學(xué)給我們展示。

呂芃霖：我開(kāi)始認(rèn)為平行四邊形的面積應(yīng)該是高×高，因?yàn)殚L(zhǎng)方形的兩條高就是長(zhǎng)和寬。于是我就畫(huà)了一個(gè)以兩條高為邊的長(zhǎng)方形數(shù)了數(shù)，可是只有7.5個(gè)格，而我數(shù)了數(shù)原來(lái)平行四邊形有15個(gè)格，看來(lái)平行四邊形的面積不等于高×高。

師：看來(lái)還是不對(duì)，研究科學(xué)就是這樣，需要我們不斷地猜想、驗(yàn)證、否定，不斷產(chǎn)生新的想法，不斷前進(jìn)，于是我們離真理越來(lái)越近。有同學(xué)猜想：平行四邊形的面積=底×高，先請(qǐng)二組同學(xué)展示他們是如何研究這個(gè)問(wèn)題的。

張瑞林：我們用的是“變形法”。昨上，我坐在竹席上思考平行四邊形面積到底怎么計(jì)算，我忽然眼前一亮，竹席是由長(zhǎng)短、粗細(xì)一樣竹條編成的，如果把竹條編成平行四邊形，它的面積會(huì)發(fā)生變化嗎？我馬上找來(lái)小棒代替竹條做實(shí)驗(yàn)。

我先用32根小棒拼成了長(zhǎng)方形，又用32根小棒編成了平行四邊形，大家說(shuō)拼成平行四邊形和長(zhǎng)方形的面積有沒(méi)有發(fā)生變化？

生：沒(méi)有發(fā)生變化。

張瑞林：大家再仔細(xì)觀察，還有什么沒(méi)有發(fā)生變化？

生：小棒長(zhǎng)短沒(méi)有變化

張瑞林：小棒長(zhǎng)短沒(méi)有變化說(shuō)明底相同，對(duì)嗎？

生：小棒的數(shù)量沒(méi)有發(fā)生變化。

張瑞林：小棒疊加起來(lái)的高度是平行四邊形的高。

因?yàn)殚L(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬，所以平行四邊形的面積=底×高。

如果排成別的樣子也會(huì)這樣嗎？我又排了很多形狀，如箭頭形、弧形、波浪形，我把它們排在一起，大家看，他們的面積是不是還是沒(méi)有發(fā)生變化？還有設(shè)么沒(méi)有發(fā)生變化？

生：小棒的長(zhǎng)短和數(shù)量都沒(méi)發(fā)生變化。

張瑞林：也就是組成的圖形的底和高沒(méi)有發(fā)生變化，由此我們可以推斷：底高相等，上下粗細(xì)一樣的圖形，都可以用底乘高來(lái)計(jì)算面積。不管側(cè)邊有多長(zhǎng)，都與面積沒(méi)有關(guān)系。如下圖：

張瑞林：還有不明白的地方嗎？

生：可是長(zhǎng)方形沒(méi)有底和高啊。

張瑞林：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)就是它的底，長(zhǎng)方形的寬就是它的高，只不過(guò)是換了個(gè)說(shuō)法而已。明白了嗎？

生：我明白了。

師：很好，舉一反三，不但得到一種圖形的面積，還得到一類圖形的面積，同時(shí)，這些同學(xué)的研究給了我們很好的啟示：面是由線構(gòu)成的，線是有點(diǎn)構(gòu)成的，而面疊加起來(lái)又可以構(gòu)成我們周圍的立體世界，如，這本書(shū)由許多長(zhǎng)方形構(gòu)成的。以小積大，怪不得古人云：不積跬步，無(wú)以至千里，不積小流，無(wú)以成江海。希望同學(xué)們?cè)谏詈蛯W(xué)習(xí)中積跬步，積小流，成大器。

師：一組也研究出了平行四邊形的面積=底×高，請(qǐng)他們展示研究成果。

李藝瑩：我先畫(huà)出平行四邊形，因?yàn)槲覀儗W(xué)過(guò)，平行四邊形有兩組對(duì)邊平行，既然平行，那我就想它兩個(gè)角能否組成和那個(gè)平行四邊形長(zhǎng)度一樣的長(zhǎng)方形呢？我測(cè)試了一下，發(fā)現(xiàn)可以，那這樣計(jì)算平行四邊形的面積就容易多了，下面就是我的研究方法。圖一：先畫(huà)出平行四邊形，再畫(huà)一條頂點(diǎn)上的高，沿高剪下一個(gè)三角形。圖二：把剪下的三角形再拼在另一個(gè)三角形旁邊，一個(gè)長(zhǎng)方形就轉(zhuǎn)化成了。

韓振：大家看，平行四邊形變成長(zhǎng)方形面積有沒(méi)有變化？

生：面積不變。

韓振：拼成的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于平行四邊形的什么？長(zhǎng)方形的寬等于平行四邊形的什么？

生：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于平行四邊形的底，長(zhǎng)方形的寬等于長(zhǎng)方形的高。

韓振：因?yàn)殚L(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬，那么平行四邊形的面積=底×高。

馬俊：大家對(duì)我們的介紹有什么疑問(wèn)嗎？

張瑞林：非沿頂點(diǎn)剪下來(lái)嗎？

成員一：也可以沿別的地方剪下來(lái)。

師：你能演示給大家看嗎？

這位同學(xué)走到臺(tái)前給大家演示。

師：可是你還是沿頂點(diǎn)剪的呀，人家的問(wèn)題是非沿頂點(diǎn)剪下來(lái)嗎？

聽(tīng)了老師的疑問(wèn)，學(xué)生猶豫了一下說(shuō)：我認(rèn)為不可以，因?yàn)閺膭e的地方剪不可以和梯形拼成長(zhǎng)方形。

張瑞林：可是我認(rèn)為可以，我來(lái)給大家演示。說(shuō)著便走到了臺(tái)前。

看到別組的成員要演示，組員三馬上說(shuō)：我認(rèn)為可以沿其它的地方剪下來(lái)，拼成長(zhǎng)方形。邊說(shuō)著邊演示給大家看

張瑞林：我就說(shuō)嘛你為什么非說(shuō)要沿頂點(diǎn)剪呢。

師：看來(lái)不僅可以沿頂點(diǎn)剪，只要怎樣剪就可拼成長(zhǎng)方形？

生：只要沿平行線間的垂直往下剪就可以。

師：也就是沿什么剪？

曹原：也就是沿著平行四邊形的任意一條高剪就可以。

師：她概括得怎么樣？

生：非常好。

呂芃霖：那如果平行四邊形很細(xì)怎么辦？比如說(shuō)只有1厘米寬。

張瑞林：很細(xì)也可以呀，比如說(shuō)1毫米。

呂芃霖很疑惑的舉起了手。

師：你還有什么問(wèn)題嗎？

呂芃霖：我還想證實(shí)我的想法。可是我認(rèn)為這個(gè)圖形就不能沿這條高剪，他拿著一個(gè)又矮又長(zhǎng)的平行四邊形走到臺(tái)前形想駁倒大家。如圖：

張瑞林：請(qǐng)問(wèn)你畫(huà)的是高嗎？

呂芃霖：我認(rèn)為是高。

師：同學(xué)們說(shuō)呢?

眾生：他畫(huà)的不是高，根本就不垂直。

可是呂芃霖不相信自己畫(huà)的不是高，只好借用三角尺現(xiàn)場(chǎng)量給他看，張瑞林接著在附近畫(huà)了一條高，剪下來(lái)拼成了長(zhǎng)方形，呂芃霖回到了座位，猶豫著接受了大家的意見(jiàn)。

我看出了他還是有點(diǎn)疑惑的，課堂又沒(méi)有太多的時(shí)間，只好說(shuō)：“如有疑問(wèn)，我們課下再研究。”

師：還有哪些同學(xué)來(lái)展示你們與眾不同的方法？

宋雨虹：我們發(fā)現(xiàn)，平行四邊形可以分成兩個(gè)相同的三角形，如圖：

三角形的面積公式=底×高÷2，平行四邊形的面積=兩個(gè)三角形的面積，所以平行四邊形的面積公式=底×高÷2×2=底×高，我們沒(méi)有學(xué)過(guò)三角形的面積，是怎么得到的呢？下面由陳平同學(xué)給大家解答。

陳平：我發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形、正方形都可以分成兩個(gè)相同的直角三角形。

三角形的高=長(zhǎng)方形的寬，三角形的底=長(zhǎng)方形的長(zhǎng)

長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬

三角形的面積=長(zhǎng)×寬÷2

雨虹：大家還有什么疑問(wèn)嗎？

生：你們研究的是直角三角形，那如果不是直角三角形怎么辦？

宋雨虹：我們小組的同學(xué)也提出過(guò)類似的問(wèn)題。我們發(fā)現(xiàn)，無(wú)論銳角三角形和鈍角三角形，只要畫(huà)出他們的高，都可以分成兩個(gè)直角三角形，再把那兩個(gè)直角三角形的上方畫(huà)出兩個(gè)三角形，就拼成了長(zhǎng)方形。如圖：

原來(lái)三角形的面積等于長(zhǎng)方形面積的一半，這個(gè)長(zhǎng)方形的面積等于底×高，因此，三角形的面積=底×高÷2。

師：平行四邊形轉(zhuǎn)換成三角形，三角形轉(zhuǎn)換成直角三角形，直角三角形轉(zhuǎn)換成長(zhǎng)方形，就是在這不斷地地轉(zhuǎn)換中，讓我們找到了各種圖形之間的聯(lián)系，而且我們還有了意外的收獲，三角形的面積=底×高÷2。

呂芃霖：我還有一種方法證明三角形的面積=底×高÷2。可以找到三角形兩條斜邊的中點(diǎn)，做垂線段，沿垂線段剪下，拼到上方，變成長(zhǎng)方形，如圖。

長(zhǎng)方形的底是三角形底的一半，寬是三角形的高，長(zhǎng)方形面積=長(zhǎng)×寬，所以三角形面積=底÷2×高

生：我覺(jué)得你這種方法真是稀有的，你是怎么想出這種獨(dú)特的方法的？

呂芃霖：賀童是用兩個(gè)三角形研究的，我就想能不能用三角形自身來(lái)研究呢，就想出了這種方法。

生：你的這種研究精神值得我們學(xué)習(xí)。

生：既然出現(xiàn)了兩個(gè)求三角形的面積，肯定有一個(gè)是正確的吧？

生：我認(rèn)為宋雨虹的方法對(duì)，因?yàn)樗芯苛硕鄠€(gè)三角形，而第二種只研究一個(gè)三角形。

生：我認(rèn)為呂芃霖的方法對(duì)，他的方法適用于任意的三角形，第一種要找兩個(gè)相同的三角形。

生：我用底是10cm,高是6cm的三角形驗(yàn)證，結(jié)果是一樣的！可以將這兩個(gè)公式概括為一個(gè)：三角形的面積=底×高÷2。

師：學(xué)了運(yùn)算定律，大家就知道為什么都對(duì)了！有興趣的同學(xué)可以課下繼續(xù)研究。

師：孩子們，炎炎烈日，卻擋不住我們小課題研究的腳步，通過(guò)這幾日的研究和今天的交流，你有哪些收獲？

生：我們要用自己的方法和見(jiàn)解解決生活中的問(wèn)題，還從別人的研究中學(xué)會(huì)許多好的方法。解決問(wèn)題的方法是多種多樣的。

生：只要努力，沒(méi)有解決不了的問(wèn)題，讓我們一起努力吧。

四、課后研究及成果展示交流

(一)課題：是不是沿平行四邊形的任意一條高剪都能拼成長(zhǎng)方形

記起課堂上呂芃霖對(duì)沿平行四邊形的任意一條高剪都能拼成長(zhǎng)方形問(wèn)題的爭(zhēng)辯，及其他最后的猶豫，我想畫(huà)錯(cuò)了高不應(yīng)是他的本意，他是班上數(shù)學(xué)最好的同學(xué)，可能是我忽視了他的想法。課后馬上找到他，果然他說(shuō)自己的本意是：假如是一個(gè)很長(zhǎng)很細(xì)的平行四邊形，高畫(huà)在了外面怎么辦?那就繼續(xù)研究吧。當(dāng)天結(jié)論就出來(lái)了：如果高畫(huà)在了圖形的外面，剪下來(lái)的部分是不能直接拼成平行四邊形的，所以課堂上我們說(shuō)的“沿任意一條高剪下的圖形都能和梯形拼成平行四邊形”這句話是不嚴(yán)密的。如圖：

(二)課題：如果平行四邊形面積相等，底相等，周長(zhǎng)會(huì)有什么變化？

研究人：徐悅鈞

為了研究這個(gè)問(wèn)題，我畫(huà)了如下幾個(gè)圖形，它們的面積相等，底相等，但圖形1的周長(zhǎng)是15厘米，圖形2的周長(zhǎng)是15.4厘米，圖形3的周長(zhǎng)積是16厘米，圖形4的周長(zhǎng)是17.4厘米，我反復(fù)研究，得出的結(jié)論是：平行四邊形面積相等，底相等，斜邊越斜，周長(zhǎng)越長(zhǎng)，斜邊越直，周長(zhǎng)越短。也就是相鄰的兩個(gè)夾角相差越小，周長(zhǎng)越短，相鄰的兩個(gè)夾角相差越大，周長(zhǎng)越長(zhǎng)。

五、教學(xué)反思

1.每位學(xué)生都經(jīng)歷了探究的過(guò)程

以小課題研究的方式進(jìn)行學(xué)習(xí)，每位同學(xué)都經(jīng)歷了觀察、猜想、思考、計(jì)算、實(shí)驗(yàn)、推理、聯(lián)想、概括、爭(zhēng)辯、獲得共識(shí)的過(guò)程。在研究階段，有的學(xué)生用的時(shí)間長(zhǎng)，幾天都找不到一點(diǎn)眉目；有的學(xué)生有的時(shí)間少，幾十分鐘就能有初步的想法，真實(shí)反映了學(xué)生之間的差距。面對(duì)多數(shù)同學(xué)認(rèn)為平行四邊形的面積等于鄰邊乘鄰邊的慣性思維，教師給了學(xué)生充足的探究空間，讓他們自己暴露思維痕跡，自己糾正。這個(gè)過(guò)程是常規(guī)課堂40分鐘所不能給學(xué)生的。通過(guò)這樣的探究過(guò)程，學(xué)生找到了平行四邊形面積計(jì)算公式的來(lái)龍去脈，并獲得了選擇方法來(lái)驗(yàn)證猜想、解決問(wèn)題的基本經(jīng)驗(yàn)。通過(guò)這樣的方式，學(xué)生經(jīng)歷了研究過(guò)程，能逐步養(yǎng)成獨(dú)立思考、善于質(zhì)疑和自主探究的習(xí)慣，達(dá)到學(xué)習(xí)的理想境界。

2.每位學(xué)生展示了不一樣的精彩

在常規(guī)教學(xué)中，由于每節(jié)課只有40分鐘，我們很難看到每一位學(xué)生對(duì)問(wèn)題的獨(dú)特見(jiàn)解，基本上是幾位學(xué)習(xí)尖子生展現(xiàn)自己的想法，大多數(shù)同學(xué)當(dāng)觀眾與聽(tīng)眾，跟著尖子生走。整堂課下來(lái)，雖學(xué)會(huì)了相關(guān)內(nèi)容，卻往往不是自己思考、探究的成果。這些數(shù)學(xué)優(yōu)秀的同學(xué)，展現(xiàn)的也并不完全是自己的思維，因?yàn)樗麄兩朴陬A(yù)習(xí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)教材給我們提供的各種思路。而這些思路，很多時(shí)候是教材編者的思路，并不一定是孩子的思維方法。我們給了每個(gè)孩子真正的思考時(shí)間，便發(fā)現(xiàn)了每個(gè)人與眾不同的思維和方法。

3.每位學(xué)生在辯析中有所發(fā)展

在課前，每位學(xué)生都做了深入的研究，而且他們的研究方法各不相同，所以當(dāng)他們?cè)谡n堂上展現(xiàn)出來(lái)，出現(xiàn)了一幕幕精彩的質(zhì)疑爭(zhēng)辯場(chǎng)景。面對(duì)別人的研究成果，孩子們不斷質(zhì)疑，爭(zhēng)辯，討論，直至所有的結(jié)論得到所有同學(xué)的認(rèn)可。在這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程中，孩子們逐步養(yǎng)成全面考慮問(wèn)題和善于從別人身上取長(zhǎng)補(bǔ)短意識(shí)，達(dá)到共識(shí)、共享、共進(jìn)的境界。

4.每位學(xué)生都提高了學(xué)習(xí)效率

經(jīng)過(guò)幾天的時(shí)間，學(xué)生才推導(dǎo)出公式，有的學(xué)生甚至走了很多彎路，這樣的學(xué)習(xí)效率不是很低嗎？教師必須掌握學(xué)生研究進(jìn)程，對(duì)他們的研究情況有所了解，并提供有針對(duì)性的幫助，這樣教不是很費(fèi)力嗎？然而，通過(guò)幾天的研究，學(xué)生的能力卻得到切實(shí)的開(kāi)發(fā)，更重要的是增強(qiáng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，他們樂(lè)此不疲，各顯神通，累并快樂(lè)著。而且，學(xué)生不僅推導(dǎo)出平行四邊形的面積計(jì)算公式，對(duì)公式有了更深刻的理解，也推導(dǎo)出了三角形的面積計(jì)算公式，自然而然地探究了后面要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，建立起這些知識(shí)之間的縱橫聯(lián)系！隨著對(duì)平行四邊形面積計(jì)算公式的研究，三角形面積計(jì)算公式也一并解決了，可謂是提高了學(xué)習(xí)效率。更關(guān)鍵的是，學(xué)生獲得了“能夠帶走”的方法和經(jīng)驗(yàn)，這無(wú)疑會(huì)提高學(xué)生學(xué)習(xí)其他內(nèi)容時(shí)的效率。對(duì)教師而言，學(xué)生自己能探究得到的，教師也就不用事必躬親，勞神費(fèi)力了！這不也是一種解放嗎？而且是體現(xiàn)了教學(xué)藝術(shù)的解放！(作者系日照市慧通小學(xué))

??本文已在《小學(xué)數(shù)學(xué)教師》發(fā)表。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的如何让梯形变成平行四边形_开放的课堂 创新的天地——平行四边形的面积教学片段与反思...的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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